奥赛辅导（十）

第1页共21页第十讲等效电路和电路计算湖南郴州市湘南中学陈礼生一、知识点击1．稳恒电流电动势大小和方向都不随时间变化的电流称为稳恒电流。稳恒电流必须是闭合的，正电荷在电场力的作用下从高电势处移到低电势处，而一非静电力把正电荷从低电势处搬运到高电势处，提供非静电力的装置称为电源．电源内的非静电力克服电源内静电力作用，把流到负极的正电荷从负极移到正极．若正电荷q受到非静电力kf，则电源内有非静电场，非静电场的强度kE也类似电场强度的定义：kkfEq将非静电场把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时所做的功定义为电源的电动势，即kEl2．恒定电流的基本规律和等效电源定理⑴欧姆定律：在恒定的条件下，通过一段导体的电流强度I与导体两端的电压U成正比，这就是一段电路的欧姆定律．写成等式：UIR，或U=IR。⑵含源电路的欧姆定律：如图10一1所示含有电源的电路称为含源电路．含源电路的欧姆定律就是找出电路中两点间电压与电流的关系．常用“数电压”的方法．即从一点出发，沿一方向，把电势的升降累加起来得到另一点的电势，从而得到两点间的电压．设电流从a流向b，则有1122abUIrIRIrUa、b两点间电压为1212abUUIrIRIr写成一般形式第2页共21页abiiiUU（IR）⑶闭合回路的欧姆定律：对于图10一1可把a、b两点连起来形成一闭合回路，则0abUU，即12120IrIRIr，1212IrrR，写成一般形式：iiIR⑷等效电源定理：只有电动势而无内阻的理想电源称为稳压源，通常的实际电源相当于恒压源和一内阻的串联．若有一理想电源，不管外电路电阻如何变化，总是提供一个不变的电流I0，则这种理想电源称为恒流源．通常的实际电源，相当于恒流源与一定内阻的并联．实际电源既可看成电压源，又可看成电流源．对于同样的外电路，产生的电压和流经的电流相同．如图10一2：rIRrrRr000rIIRr由于其等效性，0Ir，0rr等效电压源定理（又称戴维宁定理）表述为：两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。利用电压源与电流源的等效条件，可以得到等效电流源定理（又称诺尔顿定理），内容为：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络看除源网络的电阻．3．基尔霍夫定律一个电路若不能通过电阻的串并联求解，则这样的电路称为复杂电路，复杂电路往往通过基尔霍夫定律来求解．⑴基尔霍夫第一方程组（节点定律组）第3页共21页复杂电路中，三条或三条以上支路的汇合点称为节点．基尔霍夫第一方程内容为：若规定流出节点的电流强度为正，流人节点的电流强度为负，则汇于节点的各支路电流强度的代数和为零．即0iI⑵基尔霍夫第二方程组（回路定律组）复杂电路中，我们把几条支路构成的闭合通路称为回路．基尔霍夫第二方程内容为：对任一闭合回路电势增量的代数和等于零．即0iiiIR，4．无源二端网络的等效电阻⑴无源二端网络的等效电阻：任何网络不管它是简单的或是复杂的，只要它有两个引出端，且内部又无电源，则称为无源两端网络。若网络两端之间电压为U，从一端流进，另一端流出的电流为I，则U与I的比值URI称之二端无源网络的等效电阻．为求这等效电阻有一些专门的方法，其中最主要的方法有对称性化简法、电流分布法和Y-△变换三种。⑵无限网络：由无限多个电阻构成的两端网络称为二端无限网络．大致分为线型、面型和正多边形嵌套几种．二、方法演练类型一、用电路的等效变换求电路的等效电阻的问题。例1．两个均匀金属圆圈和四根均匀短直金属连成如图10—3所示网络，14大圆弧、14小圆弧和短直金属棒的电阻均为r，求A、C两点间的等效电阻。第4页共21页分析和解：四分之一圆弧和短金属棒虽长短不一，但电阻相等，这样可把里面的小圆拉出来，认为各边相等，变平面图形为一正立方体，再考虑到立方体相对对角面ACC'A'对称，对称点的电势相等，又可沿BD,B'D'把正方体压成一矩形，一拉一压把一无从下手的问题变成了一眼就能看出答案的简单问题了．因大小圆的四分之一圆弧与短直金属的电阻均为r，所以图10—4所示电路与图10—4中正方体ABCD—A'B'C'D'网络等效．A、C两点在正方形ABCD的对角线上，设电流从A流入，从C点流出，那网络相对对角面ACC'A'对称，B、D两点等电势，B'、D'两点等电势，沿BD、B'D'将正方体压成图10—5所示平面网络．又考虑到对称性，B、D点与B'D'等电势，故其间电阻可拿掉，网络等效于图10—6所示电路，这是一简单电路，很容易得到34ACRr类型二、用电流分布法和对称法及基尔霍夫定律求解等效电阻的问题。例2．电阻丝网络如图10—7所示，每一小段的电阻均为R，试求A,B之间的等效电阻RAB。分析和解：电流从A进B出本不对称，但通过叠加法，把A进B出看为A进O出和O进B出的叠加，把不对称的变为了对称，从而就可以顺利求解，在图10-14中，有电流I从A点流人，B点流出，这电流不具有对称性，但把它看作是图10—15中电流I从A流入，O点流出与图10—16中电流I从O点流入，B点流出的叠加，后两种电流流动都具有对称性，从而把原来不具有对称性的问题转化成具有对称性的间题，从而便于求解。第5页共21页如图10—8所示，设从A点流入的电流I，由于对称性，从A到C的电流I'1应为12II由于B、E因对称而等势，BDE中应无电流，I'1在C点分流，由于CO的电阻与CBO的电阻之比为1:3，故21148III图10—9中，考虑到对称性，各支路电流如图表示，运用基尔霍夫定律，可得132III3452IIII512II4322IRIRIR51320IRIRIR解此方程组可得124II，2524II将两种情况叠加得1111322424IIIIII222518243IIIIII那AB两点之间的电压为1229224ABUIRIRIR2924ABABURRI类型三、用网络的对称性作等效变换求正多边形互相嵌套的无穷网络的等第6页共21页效电阻的问题。例3．图10—10(a)所示的无限旋转内接正方形金属丝网络是由一种粗细一致、材料均匀的金属丝构成，其中每一个内接正方形的顶点都在外侧正方形四边中点上。已知最外侧正方形边长为l，单位长金属丝的电阻为r0，求网络中：（1）A，C两端间等效电阻RAC。（2）E，G两端间等效电阻REC.分析和解：这是一个典型的求正多边形互相嵌套的无穷网络的等效电阻的题目，利用对称性对折之后，找出内含的一个似形并令其阻值为RIJ，并找到RIJ与所求电阻RAC之间的关系12IJACRR，最后列出RAC的方程，其中含有RIJ，但考虑二者之间的关系即可求解。（1）首先利用网络的对称性作等效变换。令A，C两端加一电压，必然使得网络在BD连线上各节点电势相等，可以把节点拆开，如图10—10（b)所示。又由于网络关于AC连线两侧对称，所以可以沿AC连线对折叠合，让各对称节点相互重合，得等效网络，如图10—10（c）所示。容易发现，在图（c）中，A，C间网络与I，J间网络在形式上相似而且在线度上后者是前者的12倍，因此12IJACRR①再考虑到图（c）中，AC连线两侧各对称节点重合，因此，图（c）与图（a）相比，若金属丝长度相等，阻值应为图（a）中的一半，或图（c）中每段金属丝的电阻等于两条同长金属丝的并联电阻。设图（c）中AH的阻值为R1，HG的阻值为R2，易得100111224Rlrlr②第7页共21页20011222224RlrlrR③然后利用简单串并联得到A，C两端间等效电阻为111111124()22ACRRRRRRRRRRRR④其中222222222222111()()(2)22211142222IJACACACIJACRRRRRRRRRRRRRRRRRRR⑤将式④代人式⑤，得22111212122222121212(2)442(2)()4(2)2(4)(2)24ACACACACACACACRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR化简整理得RAC的一元二次方程2221221211212(2)2(22)8(2)0ACACRRRRRRRRRRRR代入212RR，简化为2211(22)4216(120ACACRRRR得出合理解2142(42)4(22)16(12)2(22)ACRR1424(12)62(22)R12(321)R01(321)2lr(2)当E，G两端间加上电压后，根据图（a）网络的对称性，在HF连线上各节点的电势相等。所以可把H，F两节点拆开，改画成网络，如图10—10（d）所示。容易看出，图（d）A，C间网络与E，G间网络在形式上相似，而且在线度上后者是前者的22倍，因此22EGACRR，这里EGR表示正方形EFGH及其内部的网络关于E，G两端点的等效电阻。第8页共21页于是原网络关于E，G两端点的等效电阻RBG为110000111122()22(32)EGEGRlrRlrlrlr12IJACRR20003211(321)(31)(32)4321lrlrlr类型四、用数电压法求解无穷网络与含源含容电路的问题。例4．如图10—11所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的电阻构成的无穷组合电路相接，求图中10μF的电容器与E点相接的极板上的电荷量。分析和解：这是一个电阻、电容混联的题目，电路稳定后，把所有电容部分拆掉，而右边是一线性无限电阻网络．利用常用的方法可求出其等效电阻．这样得到图10一12所示电路，从而计算出回路电流，再利用数电压法计算相应点电势差，再进一步计算出电容器上的电量，图10-14中D点连接三个电容器的三个极板形成一个孤岛，三个板上电荷的代数和一定为零．第9页共21页设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图10—12中的电路。B、C右方的电路又可简化为图10—13的电路，其中RB'C'是虚线右方电路的等效电阻。由于B'、C'右方的电路与B,C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有BCBCRR①由电阻串、并联公式可得212BCBCBCRRR②由①、②两式得220BCBCRR解得RBC=2.0Ω③图10—12所示回路中的电流为2010240.101030182IAA④电流沿顺时针方向．设电路中三个电容器的电容分别为C1，C2和C3，各电容器极板上的电荷量分别为Q1、Q2、Q3，极性如图10—14所示。由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即1320QQQ⑤A、E两点间的电势差3113AEQQUUCC⑥又有(10300.10)7.0AEUUVV⑦B、E两点间的电势差3223BEQQUUCC⑧又有(24200.10)26BEUUVV⑨根据⑤、⑥、⑦、⑧、⑨式并代人C1、C2和U之值后可得431.310QC⑩即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为1.3×10-4C。类型五、用叠加法处理含源含容电路的问题。第10页共21页例5．如图10—15所示，12根电阻均为R的电阻丝连接成正六面体框架，在2根电阻丝中连有电动势分别为E1与E2的电源，另外5根电阻丝中连有5个相同的电容器C。设电源正、负极之间的距离可忽略，内阻也可忽略，且E1＝2