大学普通物理计算与证明(力学部分)

四．计算题和证明题1．一质点沿直线运动，其运动方程为：)1(00ktekvxx,k为常数。试求质点的速度和加速度。提示2．一质点沿直线运动，其运动方程为：3226ttx(x和t的单位分别为m和s)。（1）作出x－t，v-t和a－t图，并由此求第2秒末质点的位置、速度和加速度；（2）从第1秒末到第3秒末时间内质点的位移和路程。提示3．一质点按规律223ttx沿直线运动，（x和t的单位分别为m和s）。求第2秒内质点的平均速度和平均加谏度。4．一电梯以1．2m·s－1的加速度上升，当向上速率为2．5m·s－1时，一只松动的螺钉从电梯天花板上落下，电梯天花板与底板相距2．8m。求螺钉落至电梯底板所需的时间。5．由地面10m高处物体A自由下落，同时从离地面高5m处将物体B竖直上抛，A和B在距地面lm处相遇。求物体B的初速度。6．一质点在xy平面上运动，其运动方程为jtitrˆ)32(ˆ42,(r和t的单位分别为m和s)，试求：（1）质点的轨迹，（2）最初2秒内的位移、平均速度、平均加速度（3）1秒末的速度、加速度、切向加速度、法向加速度。7．山坡与水平面成角，一人站在山坡顶端以初速度0v向山坡下抛出一小石子，0v与山坡面成（+）角，不计空气阻力，求：（1）石子在山坡上的落地点距抛出点的距离S；（2）为何值时S最大？8．一轰炸机沿着与铅垂线成600角的方向俯冲，在730m高处丢下一枚炸弹，炸弹离开飞机5s时击中地面目标。不计空气阻力，求：（1）轰炸机的速率；（2）炸弹飞行中经过的水平距离。9．距守门员55m处的足球，沿着与水平面成450角的方向，以19．5m·s－1的速率被踢出向着守门员飞来，与此同时，守门员迎着球的方向开始奔去接球，若他要在足球落地前抓住足球，则至少要以多大的速率奔跑？10．一质点沿半径R的圆周运动，其运动规律为2021bttvs(0v和b均为常数)。试求：(l)t时刻质点总加速度的大小和方向；（2）t为何值时a=b？（3）当a=b时，质点已沿圆周运动了几圈？11．质量为10kg的物体放置在水平面上，今以20N的力推物体，已知推力的方向与铅垂线成600夹角，物体与水平面间的摩擦系数为0．10，求物体的加速度。12．总质量为M的探空气球以加速度a垂直向下降落，问必须从气球吊篮中扔掉多少沙袋才能使气球以加速度a竖直上升？13．一木块能在与水平面成a角的斜面上匀速下滑，若令该木块以初速度0v沿此斜面向上滑动，试求木块能沿此斜面向上滑动的最大距离。14．桌面上放着质量为1kg的木板，木板上放着质量为2kg的物体，物体与木板之间及木板与桌面之间的静摩擦系数均为0．30，滑动摩擦系数均为0．26。今以水平力拉木板，拉力至少需要多大才能把木板从物体下面抽出？15．用轻细绳将质量为10kg，20kg和30kg，的物体A，B和C依次连成一串，置于光滑水平桌面上。今在物体C上作用一大小等于60N的水平拉力，拉力的方向与连接物体的细绳在同一条直线上。试求绳中的张力。16．质量为20kg的小车可以在水平面上无摩擦地运动，小车上面放着质量为2kg的木块，木块与小车间的滑动摩擦系数为0．25，静摩擦系数为0．30。（1）若在木块上作用20N的水平拉力时，木块与小车间的摩擦力为多少？木块和小车各以多大的加速度运动？（2）若作用在木块上的水平拉力为2N时．木块与小车间的摩擦力为多少？木块和小车的加速度如何？17．一根不可伸长的轻细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为3kg和1kg的物体A和B。先用手托住物体A，使A和B都静止，然后释放，求物体A的加速度和运动方程。（滑轮质量不计）。18．质量为20kg的物体放在倾角为300的斜面上，物体与斜面间的摩擦系数为0．25。今以水平力F推物体。（1）F多大时物体可沿斜面向上匀速滑动？（2）F多大时物体沿斜面向下匀速滑动？19．原长0l劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端系质量m的小球，小球和弹簧以恒定角速度。在水平面内作圆周运动。求小球作圆周运动的半径及小球所受弹性力的大小。20．自行车以8m/s的速率沿圆弧道路行驶，车胎与路面间的摩擦系数为0．32，求圆形轨道的最小半径及自行车对铅直方向的最大倾角。21．沿倾角为300的斜面拉一质量为200kg的小车匀速上坡，拉力的方向与斜面间成300角，小车与斜面间的摩擦系数为0．20。使小车前进100m拉力所做的功为多少？22．一地下蓄水池深3m，面积为100m2，池中水面低于地面2m。（1）要用一台抽水机将池中的水全部吸到地面，至少应做多少功？（2）若抽水机所消耗的电功率为625W，效率为80％，抽完这池水所需的时间为多少？（取smg/10）23．用铁锤将一根铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，第一次击钉时，铁钉被击入木板1cm,设每次锤击时，铁钉获得的速度均相等，则第二次击钉，能将铁钉击入多深？24．质量为6×105kg的机车，由车站出发沿水平轨道行驶，经过2．5×103m后速度增加16．7m/s，经历的时间为300s，若机车所受摩擦阻力是车重的0．005倍，求机车的平均功率。25．质量为m的物体，从高度为4m，长为13．6m的斜面顶端由静止开始向下滑动，物体达斜面下端后，沿表面性质相同的水平面继续向前滑行。已知摩擦系数为0．16，试求：（1）物体滑到斜面下端时的速率；（2）物体在水平面上能滑行的最大距离。26．质量为10kg的炮弹，以500m/s的初速度射出。（1）如果炮弹是竖直向上发射的，炮弹到达最高点的势能是多少？（2）如果炮弹以450仰角发射，炮弹到达最高点的势能是多少？27．在半径为R的固定球面顶点处，一物体由静止开始下滑。（l）如果为光滑球面，求物体离开球面处距离球面顶点的高度h；（2）如果物体与球面之间存在摩擦力，物体离开球面处距球面顶点的高度H是大于还是小于h？28．质量为0．1kg的小球悬挂在劲度系数为1N/m、原长为0．8m的轻弹簧一端，弹簧一端固定。开始时，弹簧水平放置且为原长，然后将小球静止释放任其下落，当弹簧通过铅垂位置时其长度为lm，求此时小球的速度。29．劲度系数为40N/m的弹簧竖直放置，把一枚质量为2×10－3kg的硬币放在此弹簧上端，然后向下压硬币，使弹簧再被压缩0．01m，试求释放后，硬币被弹簧弹到最高处距离原来硬币在弹簧上最低位置的高度。30．力F=（30＋4t）i作用于质量为10kg的物体上，（F的单位是N，t的单位为s），试求：（1）从t＝0开始的2s内，此力的冲量；（2）要使冲量的大小等于300N﹒s，此力从t＝0开始需要作用多少时间？31．停在静水湖面上的两只小船之间用一根质量可以忽略不计的绳索连接。站在第一只船上的人用50N的力拉绳子，求拉力作用5s后，两只船相对于岸的速度各为多少？已知第一只船和人的总质量为250kg；第二只船的质量为500kg，水的阻力忽略不计。32．质量为200kg的小车上有一只装着砂子的箱子，砂和箱的总质量为100kg，小车以1m/s的速度在光滑水平轨道上滑行，质量为50kg的重物从高处自由落下，竖直落人砂箱中，求：（1）重物落入后小车的速度；（2）重物落入砂箱后，若砂箱在小车上滑动，经过0．2s砂箱相对于车面静止，求车面与箱底间的平均摩擦力。33．质量为5×10－3kg的子弹沿水平方向射入一静止于水平面上的木块，已知木块质量为3kg，木块与平面间的摩擦系数为0．20，当子弹射人木块并嵌入其中后，木块沿水平面滑动0．25m后静止，求子弹的初速度。34．质量为2kg的飞行物，在距地面高度为19．6m处以速度为v1＝5m/s水平飞行，质量为3×10－2kg的子弹以水平速度v2＝300m/s击中飞行物，v1与v2沿同一直线，且击中后子弹没有穿出，不计空气阻力，试求下面两种情况下，飞行物落地点与飞行物被击中点之间的水平距离。（1）v1与v2同方向；（2）v1与v2反方向。35．长度为0．8m的细轻绳一端固定，另一端悬挂质量为1kg的钢球。开始时，将绳拉至水平位置，然后释放让球自由摆下，球在最低点与一质量为5kg的钢块发生完全弹性碰撞，试求碰撞后钢球将升高的高度。36．质量为1×10－2kg的子弹，以750m/s的速度水平射入质量为5kg的冲击摆内，摆线长1m。试求：（1）摆上升的最大高度；（2）子弹的初始动能；（3）子弹射入摆内瞬间系统的动能。37．一质量为M的球放在有孔水平桌面的小孔上。从小孔正下方射来一粒质量为m的子弹，子弹速度大小为v0，方向竖直向上。子弹穿透球后，球上升的高度为h，试求子弹上升的高度。38．距地面16m的立柱顶端放有一个质量为m的小球A，小球A正上方lm处悬挂着摆长为lm的单摆，摆球质量也是m。开始时，将摆线拉至水平位置，由静止释放，任其自己摆下与小球A发生完全弹性对心碰撞。试求碰撞后，小球A落地点距两球相碰点之间的水平距离。39．我国第一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球中心为椭圆的一个焦点。已知地球平均半径为6．378×106m，卫星距地面最近距离为4．39×105m，最远距离为2.384×106m，若卫星在近地点的速度为8．1×103m/s，试求卫星在远地点的速度。40.一复摆由长为0．90m，质量为5kg的均质细杆和一个半径为0．10m、质量为20kg的均质圆盘组成。圆盘固定在细杆一端，且盘心在杆的延长线上。求复摆对过杆另一端、且与盘垂直的轴的转动惯量。41．一飞轮直径为0．30m，质量为5．00kg，可视为均质圆盘，轮缘绕有细绳。现用恒力拉绳子的一端，使其由静定均匀的加速，经0．50s转速达10rad／s－1。求：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所作的功；（3）t＝10s时飞轮的角速度及轮缘上一点的速度和加速度。42．斜面倾角为，位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮半径为r，转动惯量为J，受到的驱动力为M。通过绳索牵动斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为，求重物沿斜面向上运动的加速度（绳索与斜面平行，绳的质量不计）。43．长为l、质量为m的均质细杆以一端为固定轴竖直下垂着，用锤头击打杆的下端，使杆得角速度0，杆向上摆，摆至水平位置时，恰有＝0，求：（1）0大小和锤头给杆的冲量矩的大小；（2）在杆获得0的瞬时，杆的质心加速度多大；（3）后打后的瞬时，杆的固定端受的力多大；（4）杆摆至与水平成600角时，杆的角加速度多大44、一艘正在行驶的电艇，在发动机关闭后，有一个与它速度相反的加速度，其大小与它的速度平方成正比，即2kVdtdV，式中k为常数，试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为kxeVV0。其中V0是关闭发动机时的速度。45、一质点沿x轴正向运动（向右），已知其速度为V=8+3t2m/s，当t=8s时，质点位于原点左侧52m处，试求（1）质点的运动方程；（2）质点的初速度和初位置；46一质量为M、长为l的均匀细直杆，可绕通过其中心O且与杆垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。当杆停止于竖直时，质量为m的子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动。若杆摆动的最大偏角为，且mM3，试求：（1）子弹入射前的速率0v；（2）在最大偏角时，杆转动的角加速度；（3）轴对杆的作用力。47一平面简谐波沿OX轴的正方向传播，波动方程为)(2cosxtAy，而另一平面简谐波沿OX轴负方向传播，波动方程为)(2cos2xtAy。求：（1）4x处介质质点的合振动方程；（2）4x处介质质点的速度表达式。48一容量很大的圆筒水箱置于一水平桌面上，箱壁上不同高度处开有A、B、C三个小孔，其中B恰好在水深一半处，如图所示。由此可推知各孔中射出的水的水平射程最远的孔为。49在一个大气压、20℃时水的粘滞系数sa3P100.1，密度取33kg/m100.1。设水在内径m025.0d的自来水管中流动，临界雷诺数2000eR，则管内水的平均流速达到v时，流动将自层流变为湍流。50水平水管的横截面积在粗处为