平面力系

-18-18第2章平面力系.................................................................................................................................182.1平面汇交力系的简化与平衡方程........................................................................................182.2力对点之矩合力矩定理....................................................................................................222.3力偶及其性质........................................................................................................................252.4平面力偶系的合成与平衡方程............................................................................................272.5平面一般力系的简化与平衡方程........................................................................................282.6物体系统的平衡....................................................................................................................35*附录Ⅱ：机械应用实例.............................................................................................................44第2章平面力系本章主要介绍平面力系的简化与平衡问题，平面状态下物系平衡问题的解法。按照力系中各力的作用线是否在同一平面内，可将力系分为平面力系和空间力系。若各力作用线都在同一平面内并汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系。按照由特殊到一般的认识规律，我们先研究平面汇交力系的简化与平衡规律。2.1平面汇交力系的简化与平衡方程2.1.1概述设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、Fn，各力汇交于A点（图2-1a）。根据力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图2-1b）。故平面汇交力系可简化为平面共点力系。a）b）图2-1连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。在图2-1b中，先合成力F1与F2（图中未画出力平行四边形），可得力FR1，即FR1＝F1+F2；再将FR1与F3合成为力FR2，即FR2＝FR1+F3；依此类推，最后可得FR＝F1+F2+…+Fn＝∑Fi（2-1）-19-19式中FR即是该力系的合力。故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。因合力与力系等效，故平面汇交力系的平衡条件是该力系的合力为零。2.1.2力在坐标轴上的投影过F两端向坐标轴引垂线（图2-2）得垂足a、b、a'、b'。线段ab和a'b'分别为F在x轴和y轴上投影的大小，投影的正负号规定为：从a到b（或从a'到b'）的指向与坐标轴正向相同为正，相反为负。F在x轴和y轴上的投影分别计作Fx、Fy，若已知F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则有图2-2sincosFFFFyx（2-2）如将F沿坐标轴方向分解，所得分力Fx、Fy的值与在同轴上的投影Fx、Fy相等。但须注意，力在轴上的投影是代数量，而分力是矢量，不可混为一谈。若已知Fx、Fy值，可求出F的大小和方向，即xyyxFFFFFtan22（2-3）2.1.3平面汇交力系合成的解析法设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、Fn，据式（2-1）有FR=F1+F2+…+Fn=∑F将上式两边分别向x轴和y轴投影，即有ynyyyyxnxxxxFFFFFFFFFF21R21R（2-4）式（2-4）即为合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。若进一步按式（2-3）运算，即可求得合力的大小及方向，即-20-20xyyxFFFFFtan)()(22R（2-5）例2-1一固定于房顶的吊钩上有三个力F1、F2、F3，其数值与方向如图2-3所示。用解析法求此三力的合力。图2-3解：建立直角坐标系Axy，并应用式（2-4），求出FRx=F1x+F2x+F3x=732N+0–2000N×cos30°=-1000NFRy=F1y+F2y+F3y=0–732N–2000N×sin30°=-1732N再按式（2-5）得60732.1tanN2000)()(22RxyyxFFFFF2.1.4平面汇交力系的平衡方程及其应用平衡条件的解析表达式称为平衡方程。由式（2-4）可知平面汇交力系的平衡条件是00yxFF（2-6）即力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可求解两个未知量。例2-2图2-4所示一圆柱体放置于夹角为α的V型槽内，并用压板D夹紧。已知压板作用于圆柱体上的压力为F。试求槽面对圆柱体的约束反力。-21-21解：（1）取圆柱体为研究对象，画出其受力图如图2-4b所示；（2）选取坐标系xoy；（3）列平衡方程式求解未知力，由公式（2-6）得：∑Fx=0，02cos2cosCNBNFF（1）∑Fy=0，02sin2sinCNBNFFF（2）由式（1）得FNB=FNC由式（2）得2sin2CBFFFNN（4）讨论由结果可知FNB与FNC均随几何角度α而变化,角度α愈小，则压力FNB或FNC就愈大，因此，α角不宜过小。a）b）图2-4例2-3图2-5所示为一简易起重机。利用绞车和绕过滑轮的绳索吊起重物，其重力G＝20kN，各杆件与滑轮的重力不计。滑轮B的大小可忽略不计，试求杆AB与BC所受的力。解：（1）取节点B为研究对象，画其受力图，如图2-5b所示。由于杆AB与BC均为两力构件，对B的约束反力分别为F1与F2，滑轮两边绳索的约束反力相等，即T＝G。（2）选取坐标系xBy；（3）列平衡方程式求解未知力；∑Fx＝0，F2cos30°-F1-T1sin30°＝0（1）a）b）∑Fy＝0，F2sin30°-T1cos30°-G＝0（2）图2-5-22-22由式（2）得F2＝74.6kN代入式（1）得F1＝54.6kN由于此两力均为正值，说明F1与F2的方向与图示一致，即AB杆受拉力，BC杆受压力。2.2力对点之矩合力矩定理2.2.1力对点之矩人们从实践中知道，力的外效应作用可以产生移动和转动两种效应。由经验知道，力使物体转动的效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点（或作用线）的位置有关。例如，用扳手拧螺母时（图2-6），螺母的转动效应除与力F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。距离h越大，转动的效果就越好，且越省力，反之则越差。显然，当力的作用线通过螺母的转动中心时，则无法使螺母转动。图2-6图2-7可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。其定义为：力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线距离h的乘积。记作Mo（F）＝±Fh（2-7）式中，点O称为矩心，h称为力臂，Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小，而正负号则表明：Mo（F）是一个代数量，可以用它来描述物体的转动方向。通常规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。力矩的单位为牛顿·米（N·m）。根据定义，图2-6中所示的力F1对点O的矩为Mo（F1）＝-F1h1＝-F1hsinα由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。从几何上看。力F对点O的矩在数值上等于三角形OAB面积的两倍。如图2-7所示。-23-23力对点的矩在两种情况下等于零：（1）力为零；（2）力臂为零，即力的作用线过矩心。前述扳手通过螺母中心的情况即属于第（2）种情况。2.2.2合力矩定理在计算力系的合力对某点的矩时，除根据力矩的定义计算外，还常用到合力矩定理，即：平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点力矩的代数和。证明：如图2-8所示，设力F1、F2作用于刚体上的A点，其合力为FR，任取一点O为矩心，过O作OA之垂线为x轴，并过各力矢端B、C、D向x轴引垂线，得垂足b、c、d，按投影法则有Ob＝cd＝F1x，Oc＝F2x，Od＝FRx按合力投影定理，有：Od＝Ob+Oc各力对O点之矩，可用力与矩心所形成的三角形面积的两倍来表示，故有Mo（F1）＝2△OAB＝OA×ObMo（F2）＝2△OAC＝OA×OcMo（FR）＝2△OAD＝OA×Od显然Mo（FR）＝Mo（F1）+Mo（F2）图2-8若在A点有一平面汇交力系F1、F2、…、Fn作用，则多次重复使用上述方法，可得Mo（FR）＝∑Mo（F）（2-8）上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，对于其它力系，如平面任意力系、空间力系等，也都同样成立。在计算力矩时，当力臂较难确定的情况下，用合力矩定理计算更加方便。例2-4图2-9a所示圆柱直齿轮的齿面受一啮合角α＝20°的法向压力Fn＝1kN的作用，齿面分度圆直径d＝60mm。试计算力对轴心O的力矩。解1：按力对点之矩的定义，有mN2.28cos2nnnodFhFFM）（解2：按合力矩定理-24-24将Fn沿半径的方向分解成一组正交的圆周力Ft＝Fn与cosα与径向力Fr＝Fncosα。有Mo（FR）＝Mo（F1）＋Mo（F2）＝Ftr＋0＝Fncosαr＝28.2N·ma）b）图2-9例2-5一轮在轮轴B处受一切向力F的作用，如图2-10a所示。已知F、R、r和α。试求此力对轮与地面接触点A的力矩。a）b）图2-10解：由于力F对矩心A的力臂未标明且不易求出，故将F在B点分解为正交的Fx、Fy，再应用合力矩定理，有MA（F）＝MA（Fx）+MA（Fy）MA（Fx）＝－FxCA＝－Fx(OA–OC)＝－Fcosα(R-rcosα)MA（Fy）＝Fyrsinα＝Fsinαrsinα-25-25＝Frsin2αMA（F）＝－Fcosα(R-rcosα)+Frsin2α＝F(r–Rcosα)2.3力偶及其性质2.3.1力偶的概念在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、方向相反但不在同一作用线上的平行力作用。例如图2-11所示的司机转动驾驶盘及钳工对丝锥的操作等。一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶，此二力之间的距离称为力偶臂。由以上实例可知，力偶对物体作用的外效应是使物体单纯地产生转动运动的变化。图2-112.3.2力偶的三要素在力学上，以F与力偶臂d的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并记作M（F，F'）或M。即M（F，F'）=M=±Fd（2-9）力偶矩的大小也可以通过力与力偶臂组成的三角形面积的二倍来表示，如图2-12所示，即M=±2△OAB一般规定，逆时针转动的力偶取正值，顺时针取负值。力偶矩的单位为N·m或N·mm。力偶对物体的转动效应取决于下列三要素：（1）力偶矩的大小。（2）力偶的转向。（3）力偶作用面的方位。2.3.3力偶的等效条件图2-12-26-26凡是三