数学：2011年北大等十三校联考（北约）自主招生试卷

2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试数学试题请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为x，所以22226235x,所以42x。2.求过抛物线2221yxx和2523yxx的交点的直线方程。解析：解法一：由2222115232yxxyxx，152得6710xy，所以过抛物线2221yxx和2523yxx的交点的直线方程6710xy。解法二：由2222115232yxxyxx得2427524249xy或2427524249xy，所以过抛物线2221yxx和2523yxx的交点的直线方程6710xy。3.在等差数列{}na中，3713,3aa，数列{}na的前n项和为nS，求数列{}nS的最小项，并指出其值为何？解析：因为3713,3,aa所以4d，所以425nan，法一：由1425041250nnanan得212544n，又nN，所以6n，所以166min6662naaSS。法二：由212235292232248nnnaaSnnn，所以当6n，6min66nSS。4.在ABC中，2abc，求证：060C.解析：因为222cos2abcCab22222ababab2231422ababab312422ababab12，当且仅当ab时，成立，又因为0,C，所以060C。5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？解析：设存在四个正实数,,,abcd使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数,,,abcd的两两乘积为,,,,,abacadbcbdcd，把这些乘积乘起来，所以323561016abcd，又,,,abcd为正实数，所以34450abcd，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于34450，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。6.1C和2C是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与1C，2C都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.解析：不妨设1C，2C和C的半径分别为12,,rrr（12rr），（1）当1C和2C相离时，即1212CCrr，（ⅰ）若C与1C，2C都外切，则11CCrr，22CCrr，所以1212CCCCrr；若C与1C，2C都内切，则11CCrr，22CCrr，所以2112CCCCrr；所以211212CCCCrrCC，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的双曲线；（ⅱ）若C与1C内切，2C外切，则11CCrr，22CCrr，所以2112CCCCrr；若C与1C外切，2C内切，则11CCrr，22CCrr，所以1212CCCCrr；所以211212CCCCrrCC，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的双曲线；（2）当1C和2C外切时，即1212CCrr，（ⅰ）若C与1C，2C都外切，则11CCrr，22CCrr，所以1212CCCCrr；若C与1C，2C都内切，则11CCrr，22CCrr，所以2112CCCCrr；所以211212CCCCrrCC，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的双曲线；（ⅱ）若C与1C内切，2C外切，则11CCrr，22CCrr（或11CCrr，22CCrr），所以2112CCCCrr（或2112CCCCrr）；若C与1C外切，2C内切，则11CCrr，22CCrr（或11CCrr，22CCrr），所以1212CCCCrr（或2112CCCCrr）；所以211212CCCCrrCC或211212CCCCrrCC，所以C的圆心的轨迹是过1C，2C的直线（除直线与圆1C、2C的交点外）；（3）当1C和2C相交时，即121212rrCCrr，（ⅰ）若C与1C，2C都外切，则11CCrr，22CCrr，所以1212CCCCrr；若C与1C，2C都内切，则11CCrr，22CCrr（或11CCrr，22CCrr），所以2112CCCCrr；所以211212CCCCrrCC，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的双曲线（圆1C、2C的交点除外）；（ⅱ）若C与1C内切，2C外切，则11CCrr，22CCrr，所以2112CCCCrr；若C与1C外切，2C内切，则11CCrr，22CCrr，所以2112CCCCrr；所以211212CCCCrrCC，由椭圆的定义，C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的椭圆（圆1C、2C的交点除外）；（4）当1C和2C内切时，即1212CCrr，（ⅰ）若C与1C，2C都外切，则11CCrr，22CCrr，所以1212CCCCrr；若C与1C，2C都内切，则11CCrr，22CCrr（或11CCrr，22CCrr或11CCrr，22CCrr），所以2112CCCCrr(或2112CCCCrr或2121CCCCrr)；所以211212CCCCrrCC或2112CCCCrr，所以C的圆心的轨迹是过1C，2C的直线（除直线与圆1C、2C的交点外）；（ⅱ）若C与1C内切，2C外切，则11CCrr，22CCrr，所以211212CCCCrrCC，所以C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的椭圆（两圆1C、2C的交点除外）；（5）当1C和2C内含时，即1212CCrr，（ⅰ）若C与1C，2C都内切，则11CCrr，22CCrr，所以211212CCCCrrCC，所以C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的椭圆；（ⅱ）若C与1C内切，2C外切，则11CCrr，22CCrr，所以211212CCCCrrCC，所以C的圆心的轨迹是以1C，2C为焦点、实轴长为12rr的椭圆。7.求()121........20111fxxxx的最小值。