2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题

智浪教育-普惠英才第1页2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题考试时间：2010年5月23日10：00－12：00一、填空题（每题10分，80分）1、由曲线|||||23|xyx所围成的几何图形的面积为。2、设实数x，y满足2011200920112009(1)(1)20104020(1)(1)20100xxxyyy，则x＋y＝。3、已知,,abcR,且1111abcabc，则存在整数k，使下列等式成立的有个。①21212121111111()kkkkabcabc②2121212121211111kkkkkkabcabc③2222111111()kkkkabcabc④2222221111kkkkkkabcabc4、已知平面上两定点A（－3，0），B（0，－4），P为曲线12(0)yxx上任意一点，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C,D，则四边形ABCD面积S的最小值为。5、已知123,,,,naaaa均为正实数，且满足12312311111,4nnaaaaaaaa，则123naaaa＝。6、已知123,,,,nkkkk是互不相同的n个正整数，且满足33331232024nkkkk，则正整数n的最大值为。7、已知函数22()1xfxx，若m＝(1)(2)(101)fff，n＝1111()()()()23100101ffff，则m＋n＝。8、已知半径为r的球和半径为R的两个相切的球都相切，且它们都与大小为60°的二面角的两个半平面相切，则Rr＝。智浪教育-普惠英才第2页二、解答题（本大题共4小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）9、（本题15分）已知三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，AB=BC=CA=42，SC＝2，D,E分别为AB，BC的中点，若点P在SE上移动，求△PCD面积的最小值。10、（本题20分）已知定点M（－3，0），P，Q分别是x轴及y轴上的动点，且使MP⊥PQ，点N在直线PQ上，32PNNQ（1）求动点N的轨迹C的方程（2）过点T(－1，0)作直线l交轨迹C于A,B两点，问在x轴上是否存在一点D使△ABD为等边三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。108642-2-4-6-551015Qgy=0.25y2OTBADPNMSCABDE智浪教育-普惠英才第3页11、（本题20分）已知数列{}na满足11412,,1,2,.1121nnnaaana（1）求{}na的通项公式，并证明对任意的x＞0，2333(),1,2,.2(2)4nnaxnxx（2）求证2123321nnaaaan智浪教育-普惠英才第4页12、（本题15分）平面上有n(3)n个不共线的点12,,,nAAA，在每个点(1,2,3,)iAin旁标注数字ia，如果一条直线通过这些点中的两个或者更多个时，则这些点旁所标注的数字之和为零，证明：所有标注的数字都为零。智浪教育-普惠英才第5页