［初中数学竞赛讲座］几何变换

竞赛专题讲座08-几何变换【竞赛知识点拨】一、平移变换1.定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’，图形FF‘。2.主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。二、轴对称变换1.定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘。2.主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线(段)或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、旋转变换1.定义设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O(不动点)，而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XX‘，图形FF’。其中α0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向;α0时，为逆时针方向。2.主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、位似变换1.定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX’，图形FF‘。其中k0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似;k0时,X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。2.主要性质在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆，且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。【竞赛例题剖析】【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。求证：∠PBA=∠PDA。【分析】作变换△ABP△DCP’，则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。求证：S△AOB‘+S△BOC’+S△COA‘。【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’【例3】【分析】取AC、BD的中点E、F，令ACA‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。故当四边形为平行四边形时，周长最小。【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。(蝴蝶定理)【分析】设GH为过P的直径，FF’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PFPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。(解析法证明：利用二次曲线系知识)【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。【分析】在圆O上任取一点P0，令P0P1，P0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1+Q1R1+R1P0=P1P2=2EF。∵E、C、F、P0四点共圆，CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin∠ECF。∴当CP0取最小值时，EF为最小，从而△P0Q1R1的周长为最小，于是有作法：连结OC，交圆周于P，令PP1，PP2，连结P1P2分别交CA、CB于Q、R。则P、Q、R为所求。【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP2AD。【分析】设PP’，PP‘’。则RP=RP‘，PQ=P’‘Q，AP=AP’=AP‘’。∴PQ+QR+RP=P‘’Q+QR+RP‘。又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A点在线段P‘P’‘上或在凸四边形P’RQP‘’的内部。∴P‘’Q+QR+RP‘AP’+AP‘’=2AP2AD。∴PQ+QR+RP2AD。【评注】如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。【例7】以△ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中点。求证：MP=MQ，MP⊥MQ。【分析】延长BP到E，使PE=BP，延长CQ到F，使QF=CQ，则△BAE、△CAF都是等腰三角形。显然：EB，CF，∴EC=BF，EC⊥BF。而PMEC，MQBF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。【例8】已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。(O为费马点)【分析】将CC‘，OO’，PP‘，连结OO’、PP‘。则△BOO’、△BPP‘都是正三角形。∴OO’=OB，PP‘=PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。【例9】⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点A1、A2、B1、B2、C1、C2，过上述六点分别作所在边的垂线a1、a2、b1、b2、，设a1、b2、c1三线相交于一点D。求证：a2、b1、c2三线也相交于一点。【分析】∵a1、a2关于圆心O成中心对称，∴a1a2。同理，b1b2，c1c2。∴a1、b2、c1的公共点D在变换R(O，180°)下的像D’也是像a2、b1、c2的公共点，即a2、b1、c2三线也相交于一点。【例10】AD是△ABC的外接圆O的直径，过D作⊙O的切线交BC于P，连结并延长PO分别交AB、AC于M、N。求证：OM=ON。【分析】设OO‘，NN’，而MB，∵M、O、N三点共线，∴B、O‘、N’三点共线，且。取BC中点G，连结OG、O‘G、DG、DB。∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四点共圆。∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四点共圆。∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，而G是BC的中点，∴O‘是BN’的中点，O‘B=O’N‘，∴OM=ON。