［初中数学竞赛讲座］排列、组合、二项式定理

竞赛讲座19-排列、组合、二项式定理基础知识1.排列组合题的求解策略(1)排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略.(2)分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理.(3)对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数.(4)插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.(5)捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列.(6)隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为，这也就是方程的正整数解的个数.2.圆排列(1)由的个元素中，每次取出个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列(或叫环状排列).(2)圆排列有三个特点：(i)无头无尾;(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列;(iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列.(3)定理：在的个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为.3.可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列.在个不同的元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种，所以从个不同的元素中，每次取出个元素的可重复的排列数为.4.不尽相异元素的全排列如果个元素中，有个元素相同，又有个元素相同，…，又有个元素相同()，这个元素全部取的排列叫做不尽相异的个元素的全排列，它的排列数是5.可重组合(1)从个元素，每次取出个元素，允许所取的元素重复出现次的组合叫从个元素取出个有重复的组合.(2)定理：从个元素每次取出个元素有重复的组合数为：.6.二项式定理(1)二项式定理().(2)二项开展式共有项.(3)()叫做二项开展式的通项，这是开展式的第项.(4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等.(5)如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大;如果是奇数，则中间两项的二项式系数与最大.(6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟.(1)利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式;(2)处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合;(3)求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩;(4)综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决.例题分析例1.数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个?例2.有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数?例3.有个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式?例4.将个不同的小球放入个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法?例5.在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个?例6.用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个?例7.用五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式?例8.某种产品有4只次品和6只正品(每只产品可区分)，每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?例9.在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个?例10。.8位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种?例11.某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道.如果有人从城南北角(图点)走到东南角中点最短的走法有多少种?例12.用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码?例13.将个相同的小球，放入个不同的盒子().(1)有多少种不同的放法?(2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法?例14.8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩.(只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的)例15.设，求的值.例16.当时，的整数部分是奇数还是偶数?证明你的结论.例17.已知数列()满足：求证：对于任意正整数，是一次多项式或零次多项式.例18.若()，求证：.例19.设的整数部分，求的个数数字.例20.已知()求的个位数字.例21.试证大于的最小整数能被整除().例22.求证：对任意的正整数，不等式.例23.设，且.求证对于每个，都有训练题1.8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有()种(A)15(B)30(C)48(D)602.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是()(A)0(B)1(C)2(D)33.若的展开式为，则的值为(A)(B)(C)(D)4.某人从楼下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2级，不同的走法有()种(A)144(B)121(C)64(D)815.从7名男乒乓球队员，5名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打，不同的分组方法有()种(A)(B)(C)(D)6.有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张，可组成的不同币值(非0)有()种(A)79(B)80(C)88(D)897.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种8.把写成的形式，为自然数，则=.9.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.10.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点，则停止跳动;若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种.11.如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.12.在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种载种方案.13.10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有种坐法.14.除以的余数是.15.设的展开中，用记它的整数部分，记它的小数部分.求证：是一定值.16.从中，按从小到大的顺序选取四个数，使得，，.问符合上要求的不同取法有多少种?17.8人围张一张圆桌，其中、两人不得相邻，而、两人以必须相邻的不同围坐方式有多少种?18.4对夫妇去看电影，8人坐成一排.若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性，共有多少种坐法?19.求证：.20.设，，，.求证：.