函数的最大值和最小值

函数的最大值和最小值例1.设x是正实数，求函数的最小值。解：先估计y的下界。又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。说明本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。例2.求函数的最大值和最小值。解去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)³0,y2+3y--4£0,所以-4£y£1又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以ymin=-4，ymax=1.说明本题求是最值的方法叫做判别式法。例3.求函数，xÎ[0,1]的最大值解：设，则x=t2-1y=-2(t2-1)+5t=-2t2+5t+1原函数当t=时取最大值例4求函数的最小值和最大值解：令x-1=t()则ymin=例5.已知实数x,y满足1£x2+y2£4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：∵∴又当时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6又因为∴又当时f(x,y)=，故f(x,y)min=例6.求函数的最大值和最小值解：原函数即令(0t£1)则y=5t2-t+1∴当x=±3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5例7.求函数的最大值解：设，则f(x)=由于0£a1,故f(x)£，又当x=(k为整数)时f(x)=,故f(x)max=例8.求函数的最大值解：原函数即在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则f(x)=|PA|-|PB|£|AB|=又当时，f(x)=故fmax(x)=例9.设a是实数,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，当0£a2-4a-2£10中变动时，求m的最大值解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a由0£a2-4a-2£10解得：或£a£6故当a=6时，m取最大值18例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。解因为点(x,y)在y=f(x)的图象上，所以y=log2(x+1)。点在y=g(x)的图象上，所以故令，则当，即时，，所以从而。例11.已知函数的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。解：将原函数去分母，并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.若y=a，即y是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y¹a。于是D=b2-4(a-y)(6-2y)³0,所以y2-(a+3)y+3a-£0.由题设，y的最小值为2，最大值为6，所以(y-2)(y-6)£0,即y2-8y+12£0.由(1)、(2)得解得：例12.求函数的最小值和最大值。解先求定义域。由最6£x£8.当xÎ[6,8]，且x增加时，增大，而减小，于是f(x)是随着x的增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数。所以fmax(x)=f(8)=0,fmin(x)=f(6)=0例13.设x,y,z是3个不全为零的实数，求的最大值分析：欲求的最大值，只须找一个最小常数k，使得xy+2yz£k(x2+y2+z2)∵x2+ay2³2xy(1-a)y2+z2³2yz∴x2+y2+z2³2xy+2yz令2=,则a=解：∵∴即又当x=1,y=，z=2时，上面不等号成立，从而的最大值为例14.设函数f:(0,1)®R定义为求f(x)在区间上的最大值解：(1)若xÎ且x是无理数，则f(x)=x(2)若xÎ且x是有理数，设，其中(p,q)=1,0pq,由于63q+9£64q-8，∴q³17因此∴f(x)在区间上的最大值作业：1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值2.设x,y是实数，且求u=x+y的最小值3.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kÎR)的两个实数根，求x12+x22的最大值和最小值4.求函数的最小值摘自数学教育之窗