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2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分)1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是().(A)36(B)37(C)55(D)90答:C.解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C.2.已知21m,21n,且8)763)(147(22nnamm,则a的值等于()(A)-5(B)5(C)-9(D)9答:C.解:由已知可得122mm,122nn.又8)763)(147(22nnamm,所以8737a,解得9a.故选C.3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线2yx上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则()(A)1h(B)1h(C)21h(D)2h答:B.解:设点A的坐标为),(2aa,点C的坐标为),(2cc(ca),则点B的坐标为),(2aa,由勾股定理,得22222)()(acacAC,22222)()(acacBC,222ABBCAC,所以22222)(caca.由于22ac,所以221ac,故斜边AB上高h221ac.故选B.4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007答:B.解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°.因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1)-34=k-33(个),而这些多边形的内角和不少于(k-33)×180°.所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得k≥2005.当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了58+33+33×58=2005(刀).故选B.5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,DP交AC于点Q.若QOQP,则QAQC的值为()(A)132(B)32(C)23(D)23答:D.解:如图,设⊙O的半径为r,mQO,则mQP,mrQC,mrQA.在⊙O中,根据相交弦定理,得QDQPQCQA.即QDmmrmr))((,所以mmrQD22.连结DO,由勾股定理,得222QODOQD,即22222mrmmr,解得rm33.所以,231313mrmrQAQC.故选D.二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,ac=2005.若a<b,则a+b+c的最大值为.答:5013.解:由a+b=2006,ac=2005,得a+b+c=a+4011.因为a+b=2006,a<b,a为整数,所以,a的最大值为1002.(第5题图)(第5题答案图)于是,a+b+c的最大值为5013.7.如图,面积为cba的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则bca的值等于.答:320.解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则342m.由△ADG∽△ABC,可得mxmmx2323,解得mx)332(.于是48328)332(222mx,由题意,a=28,b=3,c=48,所以320bca.8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分.那么,出发后经过分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.答:104.解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了xx3685040046米.于是400)1(400800)1(368xx,且xx400)800368(≤400,所以,5.12≤x<5.13.故x=13,此时1045013400t.9.已知01a,且满足(第7题图)122918303030aaa(x表示不超过x的最大整数),则10a的值等于.答:6.解:因为122902303030aaa,所以130a,230a,…,2930a等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以130a=230a=…=1130a=0,1230a=1330a=…=2930a=1,所以130110a,1≤3012a<2.故18≤a30<19,于是6≤a10<319,所以10a6.10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是.答:282500.解:设原来电话号码的六位数为abcdef,则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdefa82.根据题意,有81×abcdef=bcdefa82.记43210101010xbcdef,于是5568110812081010axax,解得)71208(1250ax.因为0≤x≤510,所以0≤)71208(1250a<510,故71128<a≤71208.因为a为整数,所以a=2.于是82500)271208(1250x.所以,小明家原来的电话号码为282500.三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)11.已知△ABC中,B是锐角.从顶点A向BC边或其延长线作垂线,垂足为D;从顶点C向AB边或其延长线作垂线,垂足为E.当BCBD2和ABBE2均为正整数时,△ABC是什么三角形?并证明你的结论.解:设,2mBCBDnABBE2,,mn均为正整数,则244cos4BDBEmnBABBC,所以,mn=1,2,3.…………………5分(1)当mn=1时,1cos2B,60B,此时1nm.所以AD垂直平分BC,CE垂直平分AB,于是△ABC是等边三角形.(2)当mn=2时,2cos2B,45B,此时2,1nm,或1,2nm,所以点E与点A重合,或点D与点C重合.故90BAC,或90BCA,于是△ABC是等腰直角三角形.(3)mn=3时,3cos2B,30B,此时3,1nm,或1,3nm.于是AD垂直平分BC,或CE垂直平分AB.故30ACB,或30BAC,于是△ABC是顶角为120的等腰三角形.…………………15分12.证明:存在无穷多对正整数,mn,满足方程2225107()mnmnmn.证法1:原方程可以写为22(107)2570mnmnn,于是221074(257)16849nnnn是完全平方数.…………………5分设21684949(121)nk,其中k是任意一个正整数,则2427nkk.…………………10分于是210710(427)77(121)22nkkkm22107kk,或2210777kk.所以,存在无穷多对正整数,mn222107,427kkkk(其中k是正整数)满足题设方程.…………………15分证法2:原方程可写为257mnmn,所以可设27mnx(x是正整数),①取57mnx.②…………………5分①-②得67(1)nxx.令6xy(y是任意正整数),则2427nyy.…………………10分于是2227364272107myyyyy.所以,存在无穷多对正整数,mn222107,427yyyy(其中y是任意正整数)满足题设方程.…………………15分13.如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线.分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连结AX.求证:BACAXAMcos.证明:设AX与⊙O相交于点1A,连结OB,OC,1OA.又M为BC的中点,所以,连结OX,它过点M.因为,OBBXOXBC,所以2XBXMXO.①又由切割线定理得21XBXAXA.②…………………5分由①,②得1XAXMXAXO,于是△XMA∽△1XAO,所以1OAAMOBAXOXOX.…………………10分又2BOCBAC,所以BOXBAC,于是BACOXOBAXAMcos.…………………15分14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.证明:n的最小值为6.证明:设10个学生为1210,,,SSS,n个课外小组为12,,,nGGG.(第13(B)题图)(第13(B)题答案图)首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为1S,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.…………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设1S恰好参加12,GG,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与1S没有同过组,矛盾.所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组12,,,nGGG的人数之和不小于310=30.另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组12,,,nGGG的人数不超过5n,故n5≥30,所以n≥6.…………………10分下面构造一个例子说明6n是可以的.112345,,,,GSSSSS,212678,,,,GSSSSS,3136910,,,,GSSSSS,4247910,,,,GSSSSS,535789,,,,GSSSSS,6456810,,,,GSSSSS.容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.所以,n的最小值为6.…………………15分
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