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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第5届(1971年于保加利亚的索菲亚)【题1】质量为m1和m2的物体挂在绳子的两端,绳子跨过双斜面顶部的滑轮,如图5.1。斜面质量为m,与水平面的夹角为1和2。整个系统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么?摩擦可以忽略。解:我们用a表示双斜面在惯性参照系中的加速度(正号表示向右的方向)。用a0表示物体相对斜面的加速度(正号表示左边物体m下降)两个物体在惯性系中的加速度a1和a2可由矢量a和a0相加得到(如解图5.1图5.1)。用F表示绳子中的张力。对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。使物体m1加速下降的力是m1gsin1-F在惯性系中,沿斜面方向的加速度分量为a0-acos1所以,对此斜面分量,牛顿第二定律为:解图5.1m1(a0-acos1)=m1gsin1-F同样,对于m2有m2(a0-acos2)=F-m2gsin2两式相加:(m1cos1+m2cos2)a=(m1+m2)a0-(m1sin1-m2sin2)g(1)我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。斜面在惯性系中的速度为v(向右)。物体相对斜面的速度为v0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量(向左)分别为:v0cos1-v和v0cos2-v利用动量守恒原理:m1(v0cos1-v)+m2(v0cos2-v)=mv对匀加速运动,速度与加速度成正比,因此有:m1(a0cos1-a)+m2(a0cos2-a)=ma所以0212211coscosammmmma(2)上式给出了有关加速度的信息。很明显,只有当两物体都静止,即两个物体平衡时,斜面才静止,这是动量守恒原理的自然结果。m2m1mm2m1ma2aaa1a0a0a1,3,5由方程(1)和(2),可得到加速度为:gmmmmmmmmmmmma222112121221121)coscos())(()sinsin)((0gmmmmmmmmmmma22211212122112211)coscos())(()sinsin)(coscos(如果m1sin1=m2sin2即1221sinsinmm则两个加速度均为零。【题2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气,在圆筒内有空气。第一步,水银柱高度h1=70cm,空气压强pk1=1.314atm=133.4kPa=100cmHg,温度为00C=273K。第二步,向上提升活塞,直至水银柱高度降为h2=40cm,这时空气压强为pk2=0.79atm=80kPa=60cmHg。第三步,保持体积不变,提高温度到T3,此时水银柱的高度为h3=50cm。最后,第四步,温度为T4,水银柱的高度为h4=45cm,空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。解:我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用L表示。为了简单起见,我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用cmHg为单位给出(见解图5.2第一步至第四步)。L70cm40cm50cm45cm次数1234氢气压强ph1ph2ph3ph4氢气体积Vh1Vh2Vh3Vh4空气压强100cmHg60cmHgpk3=pk4空气体积Vk1Vk2=Vk3Vk4两者温度273K273KT3T4解图5.2从第一步到第二步,对氢气应用玻意耳定律:(L-70)(100-70)=(L-40)(60-40)由此式求得玻璃管的长度L=130cm,因此,氢气在第一步至第四步中体积分别为:Vh1=60cm,Vh2=90cm,Vh3=80cm,Vh4=85cm从第二步到第三步,氢气的状态方程为:3380)50(27390)4060(Tph对空气应用盖吕萨克定律:2736033Tpk从第三步到第四步,我们只有向上提升活塞,以便使空气压强保持不变。氢气的状态方程为:443385)45(80)50(TpTpkk解以上方程组,得:pk3=pk4=80cmHg,T3=364K,T4=451K,所以氢气的压强为:ph3=30cmHgph4=35cmHg算出空气的体积比为:Vk1:Vk2:Vk4=6:10:12.4(注:cmHg为实用单位,应转换成国际单位Pa)【题3】四个等值电阻R、四个C=1F的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来,如图5.3所示。各电池的电压为U1=4V,U2=8V,U3=12V,U4=16V,它们的内电阻均可忽略。(a)求每个电容器的电压和电量,(b)若H点与B点短路,求电容器C2上的电量。解:(a)将这个网络展开成平面图(如解图5.3.1)。由于电流不能通过电容器,所以只在图图5.3解图5.3.1中A-B-C-G-H-E-A回路的导线中有电流。在这个回路中,电压为12V,电阻为4R。因此电流为:RUUI414ABCDEFGHC2U2C3U3C1U1C4U4RRRR+_+_+_+_RRC4C3U2+_U3+_RRC1C2U1+_U4+_ABCDEFGH于是就知道了电阻和电源两端的电压。设A点的电势为零,就能很容易地算出各点的电势。A0VB(U4-U1)/43VC(U4-U1)/26VG(U4-U1)/2+U110VH(U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/413VE(U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/216VD(U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4-U31VF(U4-U1)/4-U3+U211V从每个电容器两端的电势差,可以算出其电量如下:C1(11-10)V=1V,1×10-6C。C2(16-11)V=5V,5×10-6C。C3(6-1)V=5V,5×10-6C。C4(1-0)V=1V,1×10-6C。我们可以算出各电容器的储能量CU2/2。电容器C1和C4各有0.5×10-6J,电容器C2和C3各有12.5×10-6J。(b)H点与B点连接,我们得到两个分电路。如解图5.3.2。在下方的分电路中,电流为RU24,E点相对A点的电势是U4=16V,H点与B点的电势是U4/2=8V。F点的电势为242UU=16V于是,电容器C2两极板的电势均为16V,结果C2上无电量。解图5.3.2【题4】在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心距离镜面3R,缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。水的折射率为34n。如图5.4(a),5.4(b)解:鱼在1秒钟内游过的距离为v。图5.4(a)我们把这个距离当作物,而必须求出两个不同的像。在计算中,我们只v2vABK1T1OvT2BCDEFOK2rRRRRU1+_U4+_ABCEGHU2+_C2考虑近轴光线和小角度,并将角度的正弦用角度本身图5.4(b)去近似。在T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像,如图5.4(a)所示。从T1点以角度r=∠AT1O发出的光线,在A点水中的入射角为r,在空气中的折射角为nr。把出射光线向相反方向延长,给出虚像的位置在K1,显然∠K1AT1=nr-r=(n-1)r从三角形K1T1A,有:1)1(111nrrnAKTK利用通常的近似:K1A≈K1O+R,K1AT1≈K1O-R于是111nROKROK所以这个虚像与球心的距离为RnnOK21水的折射率34n,从而K1O=2R。若折射率大于2,则像是实像。有像距与物距之商得到放大率为nnOTOK211对水来说,放大率为2。以与速度v相应的线段为物,它位于在E处的平面镜前的距离为2R处,它在镜后2R远的T2处形成一个与物同样大小的虚像。T2离球心的距离为5R。在一般情形下,我们假设T2O=kR。T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物。因此,我们只要确定T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4(b)所示。我们需要求出以r角度从T2发出的光线在C点的入射角β,其中r=∠CT2F。在三角形T2OC中,kRkRCOOTr2β=kr玻璃中的折射角为:CDODCOnkrn需要算出∠DOB。因为:∠COF=β-r=kr-r=r(k-1)而且∠COD与C点和D点的两角之和相加,或与∠COF和∠DOB之和相加,两种情况都等于1800,因此nkrkrDOB2)1(即)12(knkrDOB从三角形DOK2,有12)12(22knkkknkrDKOK此外1222knkkROKOK,因此像距为:RkknnkOK2)12(2若k=5,n=34,得ROK3102放大率为kknnOTOK2)12(22若k=5,n=34,则放大率为32综合以上结果,如鱼以速度v向上运动,则鱼的虚像以速度2v向上运动,而鱼的实像以速度32v向下运动。两个像的相对速度为2v+32v=38v,是原有速度的38倍。我们还必须解决的最重要的问题是:从理论上已经知道了像是如何运动的,但是观察者在做此实验时,他将看到什么现象呢?两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的,实际上观察到两个反向的速度,其中一个是另一个的三倍,一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R。用肉眼看实像是可能的,只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”,是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远,尽管有距离差,但所看到的速度将逐渐增加而接近38。他当然必须具有关于鱼的实际速度(v)的一些信息。两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为:nnknknn)1(2)1)(1(22用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面镜子和一支杆,这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻Rb和电动势U0。画出作为外电阻R函数的有用功率,总功率以及效率的曲线。解答:端电压为bRRRUU0电流为RURRUIb0总功率为P0=U0I有用功率为:P=UI效率为η=0PP利用以上公式,得到要求的六个函数,如解图5.4(a)――(f)所示。PI(a)PR(b)P=U0I-RbI2P=220)(RRRUbP0I(c)R(d)P0P0=U0IP0=RRUb20I(e)R(f)=1-IURb0=RRRb测出适当选择的两个值,由以上公式便可求出Rb和U0。这些数据应该是独立于外负载,所以这样的测量并不可靠,大负载时尤其如此。1,3,5
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