1994年全国初中数学联赛试题

1994年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论代表字母在题后的圆括号内。1．若0a1，则aaaa11)11(2122可化简为()（A）aa11（B）11aa（C）21a（D）12a2．设a，b，c是不全相等的任意实数，若bcax2，caby2，abcz2，则x，y，z()（A）都不小于0；（B）都不大于0；（C）至少有一个小于0；（D）至少有一个大于0；3．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切。若BC=2，DA=3。则AB的长()。（A）等于4；（B）等于5；（C）等于6；（D）不能确定4．当219941x时，多项式20013)199419974(xx的值为()（A）1；（B）-1；（C）22001（D）-220015．若平行直线，EF，MN与相交直线，AB，CD相交成如图所示的图形，同共得同旁内角()对。（A）4；（B）8；（C）12；（D）16。6．若方程有两个不相等的根，则实数P的取值范围是()（A）0p；（B）41p；（C）410p；41p答（）7．设锐角△ABC的三条高AD，BE，CF相交于H，若BC=a，AC=b，AB=c，则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是()（A）)(21cabcab（B）)(21222cba（C）)(32cabcab（D）)(32222cba8．若yyxba1994（其中a，b是自然数）且有zyx111，则2a+b的一切可能的取值是()（A）1001；（B）1001，3898；（C）1001，1996（D）1001，1996，3989二、填空题1．若在关于x的恒等式bxcaxxxNMx222中22xxNMx，为最简分式，且有ab，a+b=c，则N=________。2．当6|1|x时，函数12||xxxy的最大值是_________。3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=__________。4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要用大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_________。第二试一、如图所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q使，AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆。二、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、某次数学竞赛共有15个题，下表是对于做对n（n=0,1,2,…,15）个题人数的一个统计，如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少？n0123…12131415做对n个题的人数781021…156311994年全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题1．（A）∵aaaaaa221)1()1(，∴原式aaaaaaa1111112.2．（D）)(2)(2222cabcabcbazyx0)()()(222accbba，即0zyx，故x,y,z中至少有一个大于0.3．（B）如图，连接OC，OD.设半圆O的半径为r，则在△AOD中，边AO与DA上的高都为r，故AO=DA.同理，BO=BC.故AB=BC+DA=5.4．（B）因为219941x，所以1994)12(2x，即01993442xx.于是，20013)199419974(xx2001221)199344()1993414(xxxxx1)1(2001.5．（D）因为每一个“三线八角”基本图形中都有两对同旁内角，而从所给图形中可以分解出如下8个基本图形，共有16对同旁内角.6．（C）取1p，代入原方程得xx1，即012xx.此时方程有一个负根，于是可排除（A），（B）.取1p，代入原方程得012xx，无解，故排除（D）.因此应选（C）.7．（B）由题设可知，H，D，C，E四点共圆.因此，有（如图）AEACAHADBAEABACcos)(21222BCABAC)(21222acb.同理，)(21222bacBEBH，)(21222cbaCFCH.所以)(21222cbaCFCHBEBHADAH.8．（C）由xxa1994及zyb1994可得xza111994及bzb111994.故zyxzab111119941994)(.因此9972199411994ab.但a,b均不为1，故有2a，997b或997a，2b.于是，2a+b=1001或1996二、填空题1．-4∵)2)(1(22xxxx，且ba，所以，取2a，1b，从而1bac.因此，112222xxxxNMx.在上式中，令0x，得4N.2．16由1x≤6解得-7≤x≤5.当0≤x≤5时，22)1(12xxxy，此时16)15(2增大y；当-7≤x≤0时，22)1(212xxxy，此时因此，当-7≤x≤5时，y的最大值是16.3．4151.如图，由已知有ABBCEACE.由此可得ABBCBCEACECE.∴31467CE.又BCACABBCACC2cos22241672867222，∴CDCCEDCCEDEcos2222161514141732)417(322.因此，4151DE.4．3113如图，设⊙O1的半径为8，⊙O2，⊙O3的半径为5，切点为A，由对称性可知，能盖住这三个圆的最小圆形片的圆心O必在对称轴O1A上，且与已知三个圆相内切.若设这个圆形纸片的半径为r，则在Rt△O1O2A中，125)58(221AO.在Rt△OO2A中，222)812(5)5(rr解出3113340r.第二试一、证明如图，连接OA,OC,OP,OQ.在OCP和OAQ中，OC=OA.由已知，ABCA，BQAP.∴AQCP.又∵O是ABC的外心，∴OACOCP.由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上.∴OAQOAC，从而OAQOCP.因此，OCP≌OAQ，于是，AQOCPO.所以，O,A,P,Q四点共圆.二、这样的直角三角形存在，恰有一个.设此直角三角形斜边为c,两直角边分别为a,b,面积为S,则a≤bca+b,①a+b+c=b，②222cba，③abS21为整数④由①,②有ccbac362可得32c.⑤又由①有22)6()(cba，即22212362ccbaba.把③,④代入上式，得2212364ccSc，⑥从而得由⑤有936x，又因S为整数，再由⑥，3c亦为整数，从而73c或8.若73c，则2S，代入②,④得311ba，4ab，由于此方程组无解，故此情形不可能；若83c则1S，此时310ba，2ab.解此方程组得375a，375b，而38c，以这三个数为边长构成唯一直角三角形.三、由统计表可知：做对0—3个题的总人为46211087(人)，他们做对题目数的总和为913212101807(题)；做对12—15个题的总人数为2513615(人)，他们做对题目数的总和为15×12+6×13+3×14+1×15=315(题).以1510,,xxx分别表示做对0个，1个，…，15个题目的人数，由题意有6155415541554xxxxxx，及41020101010210xxxxxxx，即)(6155415541554xxxxxx，)(41020102010210xxxxxxx.两式相减得)32(151211321151211xxxxxx)(4)(610101554xxxxxx)(2)(4)(610543210151211xxxxxxxxxx)(2)(6)(415103210151211xxxxxxxxxx)(2)(6)(44151032101514131211xxxxxxxxxxxx.而已求得463210xxxx，2515141312xxxx，913203210xxxx，3151514131215141312xxxx，代入上式得913151111x)(24662544151011xxxx，故1115105.3200xxxx，（11x≥0）因此，当011x时，统计的总人数1510xxx最少为200人.