2002年全国初中数学联赛试题及答案

2002年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题1、已知a＝2－1，b＝22－6，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是【】(A)a＜b＜c(B)b＜a＜c(C)c＜b＜a(D)c＜a＜b2、若m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，则m3－2mn＋n3的值为【】(A)1(B)0(C)－1(D)－23、已知二次函数的图象如图所示，并设M＝|a＋b＋c|－|a－b＋c|＋|2a＋b|－|2a－b|，则【】(A)M＞0(B)M＝0(C)M＜0(D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC＝90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为【】(A)18(B)20(C)22(D)245、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为【】(A)2：5(B)1：2(C)1：3(D)2：36、如果对于不小于8的自然数n，当3n＋1是一个完全平方数是，n＋1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为【】(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题7、已知a＜0，ab＜0，化简，|3ab||23ba|1.8、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为___________9、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有件。10、设N＝23x＋92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。三、解答题11、已知：a，b，c三数满足方程组482882ccabba，试求方程bx2＋cx－a＝0的根。12、如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。13、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2＋(r＋2)x＋r－1＝0有且只有整数根。参考答案一、BDCBCC二、1、153232、r)6(23、124、27三、1、由方程组得：a、b是方程x2－8x＋c2－28c＋48＝0的两根△＝－4(c－28)2≥0，c＝42a＝b＝4所以原方程为x2＋2x－1＝0x1＝262，x2＝2622、连结BP'、P'R、P'C、P'P（1）证四边形APPQ为平行四边形（2）证点A、R、Q、P'共圆（3）证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形（4）证∠P'BA＝∠ACP'，原题得证3、（1）若r＝0，x＝21，原方程无整数根（2）当r≠0时，x1＋x2＝r2rx1x2＝r1r消去r得：4x1x2－2(x1＋x2)＋1＝7得(2x1－1)(2x2－1)＝7由x1、x2是整数得：r＝31，r＝1