2004年湖南省高中数学竞赛试题及答案

二○○四年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数)(xf是R上的奇函数，)(xg是R上的偶函数，若129)()(2xxxgxf，则)()(xgxf（）A．1292xxB．1292xxC．1292xxD．1292xx2.有四个函数：①xxycossin②xxycossin③xxycossin④xxycossin其中在)2,0(上为单调增函数的是（）A．①B．②C．①和③D．②和④3.方程xxxxxx)1(12122的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（）A．0B．1C．2D．44.已知点),(yxP满足)(4)sin4()cos4(22Ryx，则点),(yxP所在区域的面积为（）A．36B．32C．20D．165.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（）A．9B．12C．15D．186.已知数列}{na为等差数列，且285S，3610S，则15S等于()A．80B．40C．24D．-487.已知曲线C：xxy22与直线0:myxl有两个交点，则m的取值范围是（）A．)2,12(B．)12,2(C．)12,0[D．)12,0(8.过正方体1111DCBAABCD的对角线1BD的截面面积为S，maxS和minS分别为S的最大值和最小值，则minmaxSS的值为（）A．23B．26C．332D．3629.设7log,1sin,82.035.0zyx，则x、y、z的大小关系为（）A．zyxB．xzyC．yxzD．xyz10.如果一元二次方程09)3(222bxax中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P（）A．181B．91C．61D．1813二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P是椭圆191622yx上异于长轴端点的任意一点，1F、2F分别是其左、右焦点，O为中心，则221||||||OPPFPF___________.12.已知ABC中，aAB，bAC，试用a、b的向量运算式子表示ABC的面积，即ABCS____________________.13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若xxff))((，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即xxfxA)(|{}})]([|{xxffxB.(1).求证：AB(2).若),(1)(2RxRaaxxf，且BA，求实数a的取值范围.组ABCD上衣(件)8976裤子(条)101211716.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{na满足条件：2,121aa，且,3,2,1(12naaannn)求证：对于任何正整数n，都有nnnnaa111.18.在周长为定值的ABC中，已知6||AB，且当顶点C位于定点P时，Ccos有最小值为257.(1)建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.(2)过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求||||BNBM的最小值的集合.19.已知三棱锥ABCO的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为、、.求证：33arcsin32.二○○四年湖南省高中数学竞赛试题参考答案一、选择题：ADCBCCCCBA二、填空题：11.2512.22)(|)||(|21baba13.414.1三、解答题：15.证明(1)若A=φ，则AB显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而AB.解(2)：A中元素是方程f(x)=x即xax12的实根.由A≠φ，知a=0或0410aa即41aB中元素是方程xaxa1)1(22即0122243axxaxa的实根由AB，知上方程左边含有一个因式12xax，即方程可化为0)1)(1(222aaxxaxax因此，要A=B，即要方程0122aaxxa①要么没有实根，要么实根是方程012xax②的根.若①没有实根，则0)1(4222aaa，由此解得43a若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有aaxxa22，代入①有2ax+1=0.由此解得ax21,再代入②得,012141aa由此解得43a.故a的取值范围是]43,41[16.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876①只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y(件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y)(条)依题意，有42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即769xy.令μ=42+8x+9y=42+8x+9(769x)=123+x72因为0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3,μ取得最大值，即μmax=125.因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令10a,则有11kkkaaa，且),2,1(1111kaaaakkkk于是nkkknkkkaaaan11111由算术-几何平均值不等式，可得nnnaaaaaa132211+nnnaaaaaa113120注意到110aa，可知nnnnnaaa11111，即nnnnaa11118.解：(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos22222CBCAaCBCACBCACBCACBCACBCAC又22)22(||||aaCBCA，所以2181cosaC，由题意得25,25718122aa.此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).所以C点的轨迹方程为)0(1162522yyx(2)不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简，得0)1169(83)16251(2222kxkxk显然有△≥0，所以222122212516400225,2516150kkxxkkxx而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121kkkkkkkkxxxxxxBNBM只要考虑251653114422kk的最小值，即考虑2516531144251612k取最小值，显然.当k=0时，||||BNBM取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得16)534(||||2BNBM但)0(1162522yyx，故0k，这样的M、N不存在，即||||BNBM的最小值的集合为空集.19.证明：由题意可得1sinsinsin222，且α、β、)2,0(所以)cos()cos()2cos2(cos21sinsin1sin222因为)cos()cos(，所以)](2[sin)(cossin222当2时，2.当2时，)(2，同样有2故2另一方面，不妨设，则33sin,33sin令2211sin)33(1sin,33sin，则1sinsinsin12212)cos()cos()cos()cos(sin11112因为11，所以)cos()cos(11所以)cos()cos(11所以11如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使111增大.所以，当α=β==33arcsin时，α+β+取最大值333arcsin.综上可知，33arcsin32