2009年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)

2009年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2009年3月22日星期日上午8：30~10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.设1210,,,(1,)aaa，则121012102009200920092009loglogloglogaaaaaa的最小值是。2.已知,*xyN，且12121999xy，则将y表示成x的函数，其解析式是y。3.已知函数2()|2|fxx，若()()fafb，且0ab，则ab的取值范围是。4.满足方程222213log[2cos()]2cos()4xyyyxy的所有实数对(,)xy。5.若[]a表示不超过实数a的最大整数，则方程2[tan]2sinxx的解是。6.不等式2223242xxxx的解集是。7.设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2,,2009}A，集合LA，且L中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L元素个数的最大可能值是。8.给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有个。二、解答题9.（本题满分14分）设函数()fx定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1ff，且对任意,[0,1],xyxy，都有22()(1)()()2xyfafxafy，其中常数a满足01a，求a的值。10.（本题满分14分）如图，A是双曲线2214xy的右顶点，过点A的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,MN，问直线MN是否一定过x轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P试求出这个定点P的坐标。yxAOMN11.（本题满分16分）设,AB是集合12345{,,,,}aaaaa的两个不同子集，使得A不是B的子集，B也不是A的子集，求不同的有序集合对(,)AB的组数。12.（本题满分16分）设正整数构成的数列{}na使得1091081019kkkaaa对一切*kN恒成立。记该数列若干连续项的和1jppia为(,)Sij，其中,*ijN，且ij。求证：所有(,)Sij构成的集合等于*N。答案：一、1、100；2、312x；3、(0,2)；4、122（k+,）(kZ)5、xk或(,)4xlklZ；6、[0,4]；7、1005；8、960。二、9、解：因为2101()()22ffa，2210112()()()422ffafa222411312()()(1)()(1)2422ffafafaa所以22641311344()()(1)()()232244ffafafaa8分由此得26423aaa，而01a，所以22a14分10、解法一：(2,0)A，将y轴向右平移2个单位，使点A成为新直角坐标系的原点，在新坐标系下，双曲线的方程为22('2)14xy，即224'4'0yxx(*)若MNx轴，则1AMk，即:'AMlyx，代入（*）式可得44(,)33M，进而44(,)33N。所以4(,0)3P，则点P在原坐标系中的坐标为10(,0)3。5分若MN不垂直x轴，设:'(0)MNlykxtt，则'1ykxt，于是（*）可以改写成22'4'4'0ykxyxxt，即24()4()40''yytktxx该方程的两个根12,kk既是,AMAN的斜率。因为AMAN，所以12414ktkkt，10分所以43tk，故44:'(')33MNlykxkkx所以过定点4(,0)3P，则点P在原坐标系中的坐标为10(,0)3。综上所述，直线MN过x轴上的定点10(,0)3P14分解法二：设直线AM的斜率为1(0,,2)2kkkk由2222244824(,)4141(2)xykkMkkykx，同理得222284(,)44kkNkk当1k时，103MNxx，所以过10(,0)38分当11,2,2kkk时，由直线MN的方程得，10'()3ykx10分所以，直线MN过x轴上的定点10(,0)3P14分11、解：集合12345{,,,,}aaaaa有52个子集，不同的有序集合对(,)AB有552(21)组。2分若AB，并设B中含有(15)kk个元素，则满足AB的有序集合对(,)AB有55555555100(21)232kkkkkkkkCCC组8分同理，满足BA的有序集合对(,)AB也有5532组。10分所以，满足条件的有序集合对(,)AB的组数为55552(21)2(32)570组。16分12、证明：显然(,)*SijN2分下证对任意0*nN，存在0(,)Sijn用nS表示数列{}na的前n项和，考虑01010n个前n项和：0121010nSSS（1）由题设0001010121011201011010()()()nnnSaaaaaaa6分另外，再考虑如下01010n个正整数：0102010100nSnSnSn（2）显然01010002019nSnn10分这样（1），（2）中出现02020n个正整数，都不超过02019n，由抽屉原理，必有两个相等。由于（1）式中各数两两不相等，（2）式中各数也两两不等，故存在,*ijN，使得0jiSSn，即ji，且0(,)jinSSSij所以，所有(,)Sij构成的集合等于*N。16分