2010全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案

全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案（2010年5月9日上午8：30---11：00）考生注意：本试卷共五道大题，满分100分．一、填空题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．直接把答案填在题中的横线上.1.定义集合运算：{,,}.ABcabaAbB设{0,2},{0,4},AB则集合AB的元素的和为个.解：填8.集合AB的元素为120,8.cc2.设,()||||,abfxxaxb则()fx的取值范围是.解：填().abfxba若,xa则()fxaxbxab；若,axb则()2,()fxabxabfxba；若,xb则()fxxaxbba，综上，有().abfxba3.某一次函数图像与直线59544yx平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点(-1,-25)，则在线段AB上(包括,AB)，横纵坐标都是整数的点有个.设5,4yxb由条件过点(-1,-25)，得95,4b所以595.44yx则A（19,0）、B(0,954),由595(019)44yxx,取3,7,11,15,19x时,y是整数,所以,满足条件的点有5个.4.已知函数()fx满足对所有的实数,xy,都有()(2)(3)2010,fxfxyfxyx则(2010)f．解:填0.令2010,1005,xy得(2010)(5025)(5025)20102010,fff所以(2010)0.f5.如图，已知(2,0),(0,4),ABP为双曲线8(0)yxx上的任一点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D,则四边形ABCD面积的最小值为.解：填16.设点P的坐标为),(00yx，则有008yx，00x.则008(,0),(0,)CxDx，由条件知：008||2,||4,CAxDBx故有0000184(2)(4)2()816.2Sxxxx所以四边形ABCD面积的最小值是16.6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为．解:填22.设三棱柱111,ABCABC侧棱长为,a侧面的异面对角线11,ABBC互相垂直,则1111111111111120()()00cos6002.2ABBCBBBABBBCBBBBBBBCBABBBABCaa7.若抛物线2112yxmxm与x轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为.解：填.x=1设抛物线2112yxmxm与x轴交与整点（1x，0），（2x，0），1212(,)xxxx为整数，且，则方程21102xmxm有两个整数根12,,xx得212111()(),22xmxmxxxx取1,x代入得12(1)(1)1,xx所以1211,11,xx所以120,=2,xx则抛物线的对称轴方程为.x=18.已知实数ab、满足221aabb，且22tabab，则t的最大值与最小值的积为.解：填1.设,axybxy、则有22()()()()1.xyxyxyxy化简得2213,yx2210,0.3yx2222222()()()()383.tababxyxyxyxyxyx113,3()1.33t9.用如图所示的两个转盘做游戏,第一个转盘为圆形,O为圆心,且90AOBBOC;第二个转盘为矩形,1O为矩形的中心,且3NPMN.若同时转动两个转盘,则转盘停止后指针同时指向a的概率为.解：填16.指针同时指向a的概率为111.236P10.设在同一平面上两个非零的不共线向量a,b满足()bab，对任意的xR,则||xab的取值范围为.(用向量a,b表示)解：填[||,)ab.设OAOBa,b,xb表示与OB共线的任一向量,||xab表示点A到直线OB上任一点的距离,而|ab|表示点A到点B距离，当()bab时，.ABOB由点与直线之间距离最短知，对任意的xR,有||xab||ab.二、（本题满分12分）如图,在ABC中,已知9,8,7,ABBCACAD为内角平分线,以AD为弦作一个圆与BC相切,且与,ABAC分别交与,MN,求MN的长.解：如图,连结,DM由,BDMBADCADDMN得MNBC∥，则,AMNABC…………………4分易知2299,9()22927.844BDBMBABDBMBMAM分又2734.94MNAMBCAB所以386.4MN…………………12分三、（本题满分13分）如图，两个平面//,mn线段AD分别交平面mn、于点BC、,过点A的另一条直线分别交平面mn、于点MP、,过点D的另一条直线分别交平面mn、于点NQ、,已知3,2BMNCPQSSABCS为ABC的面积,且1sin,2ABCSABBCBAC求ADCD的最小值.解：因为平面,mn∥所以,,BMCPBNCQ∥∥sinsin.MBNPCQ且,,BMABBNBDCPACCQCD又1sin,2BMNSBMBNMBN1sin,2CPQSCPCQPCQ结合3,2BMNCPQSS得3.2ABBDACCD…………………5分令,,ACBDabABCD则23,ba且1,ba11,,1BCaABBCABa…………………8分111(1)1113311(1)(1)1222(1)3131[(1)]32333.23(1)23ADABBCCDaBCaBDCDabCDCDaCDaCDaaaaaaaa所以ADCD的最小值为33.…………13分四、（本题满分12分）（以下两题请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题给分）(必修4)已知向量(3sin,1),(cos,0),0,xxab又函数()()fxkbab是以2为最小正周期的周期函数.若函数()fx的最大值为21，则是否存在实数t,使得函数()fx的图像能由函数()gxtab的图像经过平移得到？若能，则求出实数t并写一个平移向量m；若不能，说明理由.解:()()fxkbab=3sinωxcosωx-kcos2ωx=23sin2ωx-21k(1+cos2ωx)=23sin2ωx-21kcos2ωx-21k=2132ksin(2ωx+θ)-21k,又函数()fx是以2π为最小正周期的周期函数，∴T=22=2,∴ω=2.…………………4分∴()fx=2132ksin(4x+)-21k,∵函数()fx的最大值为21，∴-21k+2132k=21，解得k=1,…………………8分∴()fx=2132ksin(4x-6)-21k=1sin(4)62x,又()gxtab=3tsinωxcosωx==23tsin4x,∴当233t时，函数()gxtab的图像按向量1(,).242m平移后便得到函数()fx的图像.……………………12分(必修3)袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个,白球2个，红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分；在抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.求:(1)甲、乙成平局的概率;(2)如果可以选择先后取球的顺序，你会先取还是后取，为什么？解：记黑球为1，2号；白球为3，4号；红球为5，6号.则甲取球的所有可能性共有下列20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.……………………4分(1)平局时甲、乙两人的得分均应该为3分，所以甲取出的三个小球必须为一黑一白一红，共有8种情况.故平局的概率为182205P…………………………8分(2)甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的3个小球只能是2红1白，1红2白，或2红1黑，共有6种情况.甲（先取者）获胜的概率为2632010P.所以乙（后取者）获胜的概率为3123110PPP因为23PP，所以先取后取获胜的可能性是一样的.………………12分五、（本题满分13分）设二次函数2()(R)fxxbxcbc、与x轴有交点.若对一切Rx,有1(,fxx）0且2223(1,1xfx）求bc、的值.解:11||||||2,xxxx所以,对于一切满足||2x的实数x有()0.fx……………3分则2()0fxxbxc的实数根在区间[-2,2]内,所以,二次函数2()(R)fxxbxcbc、在区间[2,)上是增函数,且(2)0,420,(2)0,420,44,222fbcfbcbb……………8分又2222312(2,3]11xxx,所以2223(1,1xfx）即(31,f）931.bc4,42380,542380,4,4444,bbbbbbbb所以,只有4.b此时4.c………………13分