2011初中数学竞赛试题

CBADP2011初中数学竞赛（适合阶段：初中三年级）时间：100分钟满分：120分题号一二三总分得分一、填空（每空2分，共20分）1、已知5nm，1322nm，那么44nm=.2、如图1以AB为直径画一个大半圆，BC＝2AC，分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于.3、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图2），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于米.4、图3中有＿＿＿＿个正方形，有个＿＿＿＿三角形.5、在平面直角坐标系中，点P]1)1([mmm，（m为实数）不可能在第象限.6、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。则该校去参加春游的人数为；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元.7、如图4，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为.8、如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）.（A）672（B）688（C）720（D）750二、简答下列各题（第9、10题各8分，第11题9分，第12、13、14题各10分，共55分，要求写出简略过程）9、已知a，b，c都是整数，当代数式cba327的值能被13整除时，那么代数式cba2275的值是否一定能被13整除，为什么？10、如图5所示，在四边形ABCD中，NDMNAM，FCEFBE，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为1S，2S和3S，求312SSS=？（提示：连接AE、EN、NC和AC）图511、已知n是正整数，且12n与13n都是完全平方数.是否存在n，使得35n是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由.12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。问这家原来的电话号码是多少？图4图3图2图1学校姓名考号学号∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线亲订13、图6是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数.请写出这个9位数，简单说明理由.图614、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）三、详答下列各题（每题15分，共45分，要求写出详细过程）15、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”.已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁.请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？16、请回答：81能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？81能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由.17、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了.已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？2011初中数学竞赛参考答案一、填空题号12345678答案97795，155二270，14003C二、简答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设)(13)327(2275tczbyacbaxcba①比较上式a，b，c的系数，应当有5137yx7132zx②22133tx取3x，可以得到2y，1z，1t，则有cbacbacba2275)327(3)2(13③既然)327(3cba和)2(13cba都能被13整除，cba2275就能被13整除.【说明】cba2275表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取10x，则有5y，1z，4t，则有)45(13)327(102275cbacbacba；实际上，②是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到kx133，ky72，这里k是任意整数，将kx133代入其余方程，解得kz21，kt31，这里k是任意整数，则可以有])31()21()72[(13)327)(133(2275ckbkakcbakcba.10、解：如图5a，连接AE、EN和NC，易知由MENAEMSS，EFNCNFSS两个式子相加得2SSSCNFAEM①并且四边形AECN的面积=22S.连接AC(如图5b)由三角形面积公式，易知AECABESS21，CNACDNSS21，两个式子相加得21CDNABESSS四边形AECN=2S②将①式和②相加，得到22SSSSSCDNABECNFAEM，既然1SSSABEAEM，3SSSABECNF，因此2312SSS，21312SSS.11、解：不存在正整数n，使得35n是质数。理由如下：设212kn，213mn，其中k，m都是正整数，则)2)(2(4)13()12(43522mkmkmknnn.若12mk，则35n不是质数；若12mk，则12235mmkn于是2)35()13(2)12(12)1(222nnmmmmm02n，矛盾.综上所述，不存在正整数n，使得35n是质数.12、解：设原电话号码为abcdef，则升位后为bcdefa32，令bcdefx，∴bcdefaabcdef3233，即xaxa100000020300000)100000(33，化简得ax2300000203000003291(a，1000000x的整数），故100000)23203(31250ax，20323171a，∴8a.于是59375)823203(3125x.故所求的电话号码为859375.13、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格.第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图6左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图6右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图6a.九位数是495186273.14、解答：（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法.因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形.但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这图5b图5a图6a6个点为顶点可以构造20123456个不同的三角形.（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形.（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母.这里不同的英文大写字母仅有6个.因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A.根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同.但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母.所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边.又显然ABC，ADE，BDF和CEF这4个三角形两两没有公共边.所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边.三、解答题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）15、解：设刘芳的年龄为x岁.①刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳.注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳.②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为()272x路路)36(x岁，他的妈妈应当是)2736(x岁，和为)299(x菲菲)29(x岁，她的妈妈应当是)2729(x岁，和为)312(x由于6个人共105岁，所以，105)312()299()272(xxx.③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁.答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁.16、解：（1）由于1613121，故有4812411616131218181.所以，81能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.（2）不妨设cba，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足22211181cba由cba，则有222111abc，从而2222311181acba,所以242a.又有2181a，所以82a，故92a或16.若92a，则有72191811122cb，由于21721b，并且721112222cbb，所以722b，144722b.故812b，100或121.将812b、100和121分别代入7272222bbc，没有一个是完全平方数，说明当92a时，22211181cba无解.若162a，则161161811122cb.类似地，可得：32162b，即252b，此时，925161616222bbc不是整数.综上所述，81不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和.17、解：让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a。再设跑道长是L，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为L。甲跑完第一圈，乙跑了L，乙再跑余下的L，甲已折返，且以(1＋)＝的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了，这时，乙折返并以(1十)＝的速度跑着。从这时起，甲、乙速度之比是÷＝，即5∶3。所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点×＝。可见两次相遇点间的距离是L＝190(米)，即L＝190(米)，L＝400(米)答：跑道长为400米