2011江苏省高中数学联赛初赛试题

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1．复数44(1i)(1i)．答案：－82．已知直线10xmy是圆22:4450Cxyxy的一条对称轴，则实数m.答案：323．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．答案：191454．已知1cos45，则44sincos．答案：455．已知向量a，b满足π2,,3abab，则以向量2ab与3ab表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．答案：1036．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和等于．答案：1(848)7n7．设函数2()2fxx．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是．答案：(0,2)8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中2,nannN*，则[(2011)]ff．答案：69．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是．答案：4310．已知m是正整数，且方程210100xmxm有整数解，则m所有可能的值是．答案：3,14,30二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）ABCP11．已知圆221xy与抛物线2yxh有公共点，求实数h的取值范围．解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，得22215sincossinsin1(sin)24h因为sin1,1，所以5,14h12．设2()(,)fxxbxcbcR．若2x≥时，()0fx≥，且()fx在区间2,3上的最大值为1，求22bc的最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()fx在区间2,3上单调递增，故有(2)(3)1ff≤，从而5b≥且38cb．若()0fx有实根，则240bc≥，在区间2,2有(2)0,(2)0,22,2ffb≥≥≤≤即420,420,44,bcbcb≥≥≤≤消去c，解出4,54,44,bbb≤≤≤≤即4b，这时4c，且0．若()0fx无实根，则240bc，将38cb代入解得84b．综上54b≤≤．所以22222(38)104864bcbbbb，单调递减故2222minmax()32,()74bcbc．13．如图，P是ABC内一点．（1）若P是ABC的内心，证明：1902BPCBAC；（2）若1902BPCBAC且1902APCABC，证明：P是ABC的内心．证明：（1）111180()180(180)90222BPCABCACBBACBAC14．已知是实数，且存在正整数n0，使得0n为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得n为有理数．证明：设0qnp，其中p，q为互质的正整数，则202qnp．设k为任意的正整数，构造2202npkqkn，则222220222qqnpkqknpkqkpkppQ．