2011年湖南省高中数学竞赛试卷A卷

2011年湖南省高中数学竞赛试卷A卷注意事项：1、首先填写所在县（市）学校、年级和姓名2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写3、本试卷共14题，满分150分题号一二总分1～1011121314分数复核人得分评卷人一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分）1、已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)在区间21(,)331内为减函数,在区间(-,+)3内为增函数,则a=2、设A、B是两个集合，称（A，B）为一个“对子”，当A≠B时，将（A，B）和（B，A）视为不同的“对子”，满足集合AUB={1，2，3，4}的不同对子（A，B）的个数为3、2()(),()0,()fxxxmmRftyfx设函数若则你对函数在(t,t+1)中零点存在情况的判断是4、已知椭圆C：2212xy的两个焦点分别为F1、F2，点P（x0,y0）满足0220012xy，则|PF1|+|PF2|的取值范围是5、已知复数z1满足1(2)(1)1(),2,ziii2为虚数单位复数z的虚部为122zzz则为实数的条件是6、已知数列1{}221(),2nnnnnaaanNna+满足递推关系式且为等差数列，则λ的取值是7、过函数()cos3sinfxxxx的图象上的一点的切线的斜率为k，则k的取值范围是8、已知平面内三点A、B、C满足||3,||4,||5,ABBCCA则ABBCBCCACAAB的值为9、边长为4的正方形ABCD沿BD折成60o的二面角，则BC中点与点A的距离为10、规定一双筷子由同色的两支组成，现黑、白、黄筷子各8支，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双筷子不同色，则至少要取出只筷子才能做得到。二、解答题（本大题共4个小题，满分80分）得分评卷人11、（本小题满分20分）如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部，试问：在允许将抛物线平移或旋转的条件下，平面内2011条抛物线的内部能否盖住整个平面？请作出判断，并证明你的结论。得分评卷人12、（本小题满分20分）设2222111112(1)1kakkkk，求证：20112010201122(,)aa.得分评卷人13、（本小题满分20分）(1)、设实数t0，求证：2(1)ln(1)2tt（2）、从编号为1到100的100张卡片中，每次随机地抽取张，然后放回；用这种方式连续抽取20次，设抽的20个号码互不相同的概率为p，求证：21pe得分评卷人14、（本小题满分20分）如图所示，已知由△ABC的顶点A引出的两条射线AX、AY分别交BC于点X、Y，求证：22ABCXCYACBXBY成立的充要条件是∠BAX=∠CAY。