2011年湖南省高中数学竞赛试题

2011年湖南省高中数学竞赛试题说明:1、评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次给分.一、填空题(本大题共10小题,每小题7分,满分70分).1.已知函数32()1()fxxaxxaR在区间21(,)33内为减函数,在区间1(,)3内为增函数,则a2.【解析】因由题可知,2()321fxxax,且13x是函数()fx的极值点,即1()03f得2a.2.设AB、是两个集合,称(,)AB为一个“对子”.当AB时,将(,)AB与(,)BA视为不同的“对子”.满足条件{1,2,3,4}ABU的不同的对子(,)AB的个数为81.【解析】分类讨论:①当A时,则{1,2,3,4}B只有一种情形;②当A为单元集时(有14C种),如取{1}A时,则{2,3,4},B或{1,2,3,4}B两种,其个数相当于是{1}的子集个数2,故由分步办事乘法原理知,此时有1428NC种;③当A为双元集时(有24C种),如取{1,2}A时,则B除含有元素3,4外,可含或不含{1,2}A中元素.其情况相当于是{1,2}的子集个数224,故由分步办事乘法原理知,此时有24424NC种;④同理,当A为三元集时有334232C种),当{1,2,3,4}A时有444216NC种;综上可知,由分类办事加法原理得共有,1824321681N种.如图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(B)3.设函数2()()fxxxmmR,若()0ft,则你对函数()yfx在区间(,1)tt中零点存在情况的判断是1.【解析】由于()0ft,且抛物线开口向上,可知其与x轴有两个交点12,xx,且12xtx,而又由于21141xxm,可知21txt,显然(1)0ft,且图象在(,1)tt上单调递增,故只有一个零点.4.已知椭圆22:12xCy的两个焦点分别为12,,FF点00(,)Pxy满足2200012xy,则12||||PFPF的取值范围是[2,22].【解析】由题知点00(,)Pxy在椭圆内部(含边界),故有122||||2cPFPFa,即求.5.已知复数1z满足1(2)(1)1(ziii为虚数单位),复数2z的虚部为2,则12zz为实数的条件是2z42i.【解析】由1(2)(1)1zii得12zi,又设22()zaiaR,所以12(22)(4),zzaai又12zz为实数,所以得4a,即242zi.6.已知数列{}na满足递推关系式1221(),nnnaanN且{}2nna为等差数列,则的取值是1.【解析】由已知得,112(1)2nnnaa,两边同除以12n得,11111222nnnnaa,显然数列1{}2nna是公差为12的等差数列.2011年◆湖南数学竞赛第2页共4页或者由11112212122222nnnnnnnnnnnaaaa为常数,所以1,即求.7.过函数()cos3sinfxxxx的图象上一点的切线的斜率为k,则k的取值范围是[-1,3]【解析】由()1sin3cos12sin()[1,3]3fxxxx8.已知平面内三点ABC、、满足||3,||4,||5ABBCCAuuuruuuruuur,则ABBCBCCACAABuuuruuuruuuruuuruuuruuur的值为-25.【解析】由条件知ABBCuuuruuur,所以2()25ABBCBCCACAABCAABBCCAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.9.边长为4的正方形ABCD沿BD折成060的二面角,则BC中点与A的距离为22.【解析】取BD中点O,容易证明ACO是边长为22的正三角形,所以22AC.设BC中点为M,在ACB中22211()2224AMACABBC.10.规定一又筷子由同色的2支组成.现有黑、白、黄筷子各8只,不用眼睛看,任意地取出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出11只筷子才能做得到.【解析】因为11只筷子中必有2支筷子同色,不妨设它是黄色的一双筷子,则黑色或白色的筷子至少有3只,其中必有一双同色,即同为黑色或白色,故11只筷子足以保证成功.但少于11只不行,如只取10只筷子,就可能出现8只黄色，黑色和白色各1只的情形,不合要求.二、解答题(大本题共4个小题,满分80分)11.(本小题满分20分)如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条件下,平面内2011条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作判断,并证明你的结论.【解析】不能.证明如下:因为每条抛物线有一条对称轴,所以2011条抛物线至多有2011条对称轴.……8分.在平面上任作一条不平行于每一条对称轴的直线,l则直线l和至多2011条对称轴相交至多得2011个交点.……12分这至多2011个交点将直线l截割若干段,其中2条为射线,其它的为线段,位于抛线线内部的至多只有2011条线段.……16分所以,抛物线不能盖住平面上的直线l,当然不能盖住整个平面.……20分.12.(本小题满分20分)设22221111,12(1)1kakkkkL求证:20102011222011(,)aa.【证明】:易知ka的表达式共有21k项,分别考察其前k项的和与后1k项的和.……4分因为2222211111,1211kkkkkkkkkL又当2k时,2222211111,121kkkkkkkkL所以,22221111111121kkkkkkkL①……8分同理可证2222111111112(1)1kkkkkkkkL②……12分由①+②,可得221kakkABCXY由此得11112kkkaa……16分取2010k,得201020111201112aa,即20102011222011aa所以,20102011222011(,)aa……20分.13.(本小题满分20分)(Ⅰ)设实数0t,求证:2(1)ln(1)2tt.(Ⅱ)从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取1张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p,求证:21pe.【证明】:(Ⅰ)构造函数2()ln(1),2xfxxx……2分则22()(1)(2)xfxxx,当0x时,()0fx,所以()fx在(0,)上为增函数……6分所以()(0)ftf,即2ln(1)02ttt,变形即得2(1)ln(1)2tt……10分(Ⅱ)由条件知20100999881100pL……14分又222998190,988290,918990,L所以199()10p.………16分在(1)的结论中令19t,得19210101912(),99ne即19291()10e.所以,21pe……20分.14.(本小题满分20分)如图所示,已知由ACB的顶点A引出的两条射线AXAY、分别交BC于点XY、.求证:22ABCYCXACBXBY成立的充要条件是BAXCAY.【证明】:(Ⅰ)先证充分性若BAXCAY,如图所示,,BAXCAY又作ABC的高AD,垂足为D,则sinsinABXACYSABAXBXADSACAYCYAD……2分由此得ABAXBXACAYCY①……6分同理ABAYBYACAXCX②……8分由①×②得22ABBYBXACCXCY,变形整理,即得22ABCYCXACBXBY……10分(Ⅱ)再证必要性作ABC的高AD,垂足为D,不妨设,,BAXCAYXAY,则sinsinABXACYSABAXBXADSACAYCYAD,所以sinsinABAXBXACAYCY③……12分DABCXY2011年◆湖南数学竞赛第4页共4页同理,sin()sin()ABAYBYACAXCX④……14分由③×④得22sinsin()sinsin()ABBYBXACCXCY,由题设得22ABBYBXACCXCY所以得sinsin()sinsin()……16分即sin(sincoscossin)sin(sincoscossin)所以,22(sinsin)cos(sincossincos)sin01(sinsin)(sinsin)cos(sin2sin2)sin0212sincos2cossincos2cos()sin()sin022222即sin()sin()coscos()sin()sin0sin()[sin()coscos()sin]sin()sin()0因为是ACB的一个内角,所以上式中只能是sin()0则,,即BAXCAY……20分.