2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及参考答案（考试时间：2011年9月3日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1.设数列{}na满足1231231,4,9,,4,5,...nnnnaaaaaaan，则2011a.2.不等式xaxaxcos1cossin22对一切Rx成立，则实数a的取值范围为.3.已知定义在正整数集上的函数()fn满足以下条件：(1)()()()fmnfmfnmn，其中,mn为正整数；(2)6(3)f.则(2011)f.4.方程1220112011x一共有个解.5.设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体,则该正方体的棱长最大等于.6.一个玻璃杯的内壁是由抛物线2yx22x绕y轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是.7.计算：111..._____sin45sin46sin46sin47sin89sin90.8.10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有种.二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）若n是大于2的正整数，求111...122nnn的最小值.2．（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？3．（本小题满分20分）数列01,,...,,...naaa满足0120,1,0aaa，当3n时有0122(...)1nnaaaan.证明：对所有整数3n，有10nna.参考答案1.答案：8041.由题意，312aa，523aa，且123(4).nnnnaaaan∴3122nnaa，*2125Nnaann.∴81212nnaa，∴10052011212111()1005818041kkkaaaa2.答案：1a或2a.由题意，22coscoscosaxaxx，即0cos1cos22axax对xR成立.令221(1cos1).fttatatx∴2210,110,10.110.faafaa解得12aa或.3.答案：2023066.在(1)中，令1n得，mfmfmf11.①令1mn得，1122ff.②令2,1mn，并利用(2)得，63212fff.③由③②得，11,23ff.代入①得，11.fmfmm∴2010201011(2011)[(1)()](1)(1)1kkffkfkfk2011212023066220122011.4.答案：4.方程11x的所有解为02x或；方程221x的所有解为51或x；方程1233x的所有解为39x或；方程12344x的所有解为614x或；方程123455x的所有解为1020x或；一般地，方程12(2)nnnx的所有解为(1)(3)22nnnnx或.5.答案：11厘米.设正方体的棱长为a，因为正方体的对角线长不大于球的直径，所以，*320()aaN，即*203()3aaN，∴11a，即max11a.6.答案：12.过抛物线顶点与球心作截面，设球的半径为r，由222222120xyrrxrxyx.由题意，方程0212rx没有非零实数解.∴21210.2xrr7.答案：1sin1.sin111sinsin1sin1sinsin1sin1coscos1sin1sin1sinsin11cotcot1.sin1nnnnnnnnnnnnnn原式89451cotcot(1)sin1kkk1cot45cot90sin11sin1.8.答案：1530.推广到一般情形，设n个学生按题设方式排列的方法数为na,则63a，184a，3621naann.从而，626626331nnnnaaaa.∴15306212710a.二.1.解：当3n时，11137.45660假设nk3k时,11137....12260kkk则当1nk时，11111...2322122kkkkk111111...12221221kkkkkk11111...1222122kkkkk111...122kkk37.60因此，所求最小值为3760.2.解：令a,b和c为一个三角形的三边，则a+bc,b+ca和c+ab.不妨设开始时的线段为区间[0,1]，并且随机选取的两点为x和y，其中0xy1.1()1,21(1),211.2xyxyyxyyxyxyxyxx如下图所示，“成功”的区域是由不等式12y，12yx和12x围成的三角形，面积为18，而整个区域的面积为12（因为yx）.∴1111222P()14112成功.答：得到的三条新线段能构成三角形的概率是41.3.证法1：证明：由已知得012(1)2(...)nnnaaaa，在上式中以1n代替n得到10112(...)nnnaaaa，两式相减得11(1)2nnnnanaa，此式对所有整数3n均成立.设2nnabn，则11(3)(1)(2)2(1).nnnnnbnnbnb由于(3)(1)(2)2(1)nnnnn，故1nb应在nb与1nb之间.由于3421,3aa，故3411,59bb.因此当3n时，均有11[,]95nb，故2(2)910nnnnanb，证毕.证法2：证明：用归纳法证明加强命题：an≥n+210n≥3．1当n=3,4时，a3=1≥510,a4=23≥610．结论成立．2假设当n－1时结论成立，当n+1时，an+1=2na0+a1+…+an－1=2n1+a3+a4+…+an－12n1+510+610+…+n+110=2n1+n+6n－320=2nn2+3n+220n+310．所以结论对n+1时亦成立．由归纳法原理及1,2可知an≥n+210n≥3成立．因此an≥n+210n10n≥3成立．从而本题得证．