2011年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛

2011年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八年级决赛试题（时量：120分钟满分：100分）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）（请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内）题号12345678910答案1、多项式54222baba的值总为（）A、非负数B、零C、负数D、正数2、比较2，5，37的大小，正确的是（）A、3257B、3275C、3725D、35723、当230x时，2|1|9124xxx=（）A、2xB、34xC、2xD、43x4、设cba0，1cba，,,bcacabMNPabc，则,,MNP之间的大小关系是（）A、MPNB、NPMC、PMND、PNM5、下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5；②2();aa③若点(,)Pab在第三象限,则点)1,(baQ在第一象限；④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个6、在⊿ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB的取值范围是（）A、3AB13B、5AB13C、9AB13D、1AB97、如图，直线l和双曲线kyx（0k）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为1S、△BOD的面积为2S、△POE的面积为3S，则有（）A、123SSSB、123SSSC、123SSSD、123SSS学校：姓名：考场：考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼学校：姓名：考场：考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼第7题ADCB第10题EGFO8、有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔、练习本、圆珠笔各1件，共需（）A、1.2元B、1.05元C、0.95元D、0.9元9、关于x的方程211xax的解是正数，则a的取值范围是（）A、1aB、10aa且C、1aD、12aa且10、如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（）A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11、若03ba，则222242)21(babababab.12、已知01x，若223xy，1xy，则xy＝.13、分解因式：2235294xxyyxy.14、如图，DC∥AB，∠BAE=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B=.15、如图是根据某初中为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生有2000人，请根据统计图计算该校共捐款元．16、设多项式Mdcxbxax35，已知当x＝0时，5M；当3x时，7M，则当3x时，M＝.17、如图，直线bkxy1过点A（0，2），且与直线mxy2交于点P（1，m），则关于x的不等式组mx＞kx+b＞mx－2的解集是______________.18、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为Mn__________________．第14题第15题第17题A1A3A2B1B2B3M1M2M3COxy第18题三、解答题（本题有4小题，共46分）19、（本题满分12分）“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示．⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．20、（本题满分12分）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G.（1）证明：BE=AG；（2）点E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，说明理由.型号ＡＢC进价(元／套)405550售价(元／套)508065EBAOFGCD21、（本题满分12分）在平面直角坐标系内有两点A（-2，0），B（4，0）和直线2521:xyl.在直线l上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.22、（本题满分10分）已知a，b是实数，若关于x，y的方程组baxybxaxxy,23有整数解),(yx，求a，b满足的关系式.2011年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八年级试题参考答案与评分标准一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案ACBDBACBDD二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11、2512、-113、)12)(43(yxyx14、40°15、2518016、-1717、21x18、(1－12n,12n)或另一书写形式(2n－12n,12n)三、解答题（本题有4小题，共46分）19、（本题满分12分）解：解：（1）购进C种玩具套数为：50－x－y（或47－54x－1011y）………2分（2）由题意得405550()2350xyxy,整理得230yx……5分（3）①利润＝销售收入－进价－其它费用(5040)(8055)(6550)(50)200pxyxy……………6分又∵230yx∴整理得15250px…………………………………………………7分②购进C种电动玩具的套数为：5050(230)803xyxxx据题意列不等式组102301080310xxx，解得70203x…………………9分∴x的范围为70203x，且x为整数x的最大值是23………10分∵在15250px中，15k＞0∴P随x的增大而增大∴当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元．此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．…………………………………12分20、（本题满分12分）解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2.………………………2分在△GAB和△EBC中，∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2；∴△GAB≌△EBC(ASA)…………5分∴AG=BE.…………………………6分1EBAOFGCD32（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB.……………………7分理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,由（1）可知，AG=BE∴AG=AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°.…………………………8分又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF(SAS)，∴∠AGF=∠AEF.…………………10分由（1）知，△GAB≌△EBC∴∠AGF=∠CEB,∴∠AEF=∠CEB.……12分21、（本题满分12分）解：（1）如果点A或点B为直角顶点，则点Ｐ的横坐标为-2或4.易得)23,2(1P，)29,4(2P．…………………………………………………4分（2）如果点P为直角顶点，则线段AB为斜边，AB=6，AB的中点为)0,1(C，连结PC，则PC=3.……………………………6分设P点的坐标为)2521,(xxP，作ABPD于点D，则222PCPDCD，即2223)2521()1(xx，…………………8分整理得07252xx．解得571x，12x.相应地591y，32y.)59,57(3P，)3,1(4P．…………………11分综上，在直线l上存在四个点P：)23,2(1P，)29,4(2P，)59,57(3P，)3,1(4P，使ABP为直角三角形．…………………………………………………………12分22、（本题满分10分）解：将baxy代入bxaxxy23，消去a、b，得xyxy3，即3)1(xyx.…………………………………………………………4分若x+1=0，即1x，则上式左边为0，右边为1不可能，所以x+1≠0.于是111123xxxxxy.因为x、y都是整数，所以11x，即2x或x0，进而y=8或y0.故82yx或00yx…………8分当82yx时，代入baxy得，082ba；当00yx时，代入baxy得，0b.综上所述，a、b满足关系式是082ba，或者0b，a是任意实数.…10分