2011新知杯模拟卷(一)

2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）模拟试卷一.填空题（第1-5题每题8分，第6-10题每题10分）1.已知函数)0(1222bxcbxxy的值域为]3,1[，则cb0,将)0(1222bxcbxxy代入31y得不等式030122cbxxcbxx∴0)3(40)1(42121cbcb又函数的值域为]3,1[，函数值能取到1和3，即112,3122222xcbxxxcbxx有解，故0)3(40)1(42121cbcb得c＝2，b＝22.已知,Ra并且axxa222)0(a，则a的取值范围是002)1(22axxa22222)(2002)2(axxaaxxa]22,22[,0,0),0,32(,0aaaaaa解集为，解集为解集为3.设在xOy平面上，20xy，10x所围成图形的面积为31，则集合},1),{(xyyxM}1),{(2xyyxN的交集NM所表示的图形面积为NM在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此NM的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，NM的图形在第一象限的面积为A＝613121。因此NM的图形面积为324.3322)(22xxxxxf的最小值为定义域为),2[]0,(,332,222xxxx在]0,(上是减函数，在),2[,上是增函数，故3)}2(),0(min{)(ffxfnin5.设p是给定的奇质数，正整数k使得2kpk也是一个正整数，则k=____________设222*224,,0,2ppnkpknnNkpknk则，从而224pn是平方数，设为2*2,,(2)(2)mmNmnmnp则22212123,,214pmmnppmnppn是质数，且解得222(1)(1),244pmpppkk故。（负值舍去）6.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有410109872101234C个交点.7.已知2()6,()fxxaxayfx的图像与x轴有两个不同的交点12(,0),(,0)xx且1212383(1)(1)(16)(16)aaxxaxax，则a的值为.首先，由23640aa，得a0或a91，由题意，可设212()6()()fxxaxaxxxx则12(1)(1)(1)17xxfa，12(16)(16)(16)17axaxfaa，所以，38317aaa解得a=0.5或者a=0(舍)。故a=218.对给定的整数m，符号()m表示1,2,3中使()mm能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)_________________.由二项式定理知，20101005100524(31)31p，即20102被3除余1，∴2010(21)3，2010(22)12010(23)2，故201020102010(21)(22)(23)6.9.已知cba,,为非负数，则cbcbaaccbaf),,(的最小值为2；2131),,(ccbcbaaccbcbaaccbaf10.将方程33[]40xx（[]x表示不超过x的最大整数）的实数解从小到大排列成12,,,kxxx，则33312kxxx1633[]4xx,当[]0x时，3323[]4[][]xxxx，∴3[]3[]40xx，1[]4x，∵[]0x，∴0[]4x由于[]xZ，验证可知[]1x，此时，37x，[]2x此时310x当[]0x时，无解当[]0x时，[]{}xxx，由于0{}1x，故0[]1xx又33[]43({})433{}4xxxxxx∴33340xx由3340xx得117117,122xx当1x时，3334xx不成立；又[]0x易得10x，xZ,∴1x，033312kxxx16二.(15分)在△ABC中，AB＞BC，K、M分别是边AB和AC的中点，O是△ABC的内心。设P点是直线KM和CO的交点，而Q点使得QP⊥KM且QM∥BO，证明：QO⊥AC。证：作OR⊥AC于R，过P作MK的垂线，交直线OR于Q点（如图）。这样只需证Q’M∥O，因为这时Q和Q’重合。因为K，M分别为AB和AC的中点，所以KM∥BC，于是∠MPC＝∠BCP＝21∠ACB＝∠MCP。因此MP＝MC＝MA，这样一来，P点在以AC为直径的圆周上，且∠APC＝90°。在四边形APOR中，∠APO＝∠ARO＝90°，所以APOR内接于圆，∠RPO＝∠RAO＝21×∠BAC。在四形边MPQ’R中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R内接于圆，于是∠Q’MR＝∠Q’PR＝∠Q’PO＋∠OPR＝（90°－∠OPM）＋21∠BAC＝（90°－21∠ACB）＋21∠BAC。设BO交AC于D，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠ACB－21∠ABC＝90°＋21∠BAC－21∠ACB＝∠Q’MR，因此MQ’∥BO，于是本题得证。三（15分）设,199}{1,2,3,I，I},,,,{A100321aaaa，且A中元素满足：对任何100ji1，恒有200jiaa．（1）试说明：集合A的所有元素之和必为偶数；（2）如果10002100321aaaa，试求2100232221aaaa的值．解：（1）将集合,199}{1,2,3,I的所有元素分组为{1,199}、{2,198}、……、{99,101}、{100}，共100组；由已知得，集合A的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个，∴集合A的所有元素之和必为偶数．（2）不妨设9921,,,aaa为依次从以上前99个集合中选取的元素，100100a，且记各集合的落选元素分别为9921,,,bbb，则200iiba，)99,,2,1(i，由于2222321n=6)12)(1(nnn∴)(2100232221aaaa+)(2992221bbb=2222199321=6)11992)(1199(199=2646700，……①而)(9921aaa+)(9921bbb=1980099200＝，)(9921aaa=10002-100=9902，∴)(9921bbb=19800-9902=9898∴)(2100232221aaaa-)(2992221bbb=)(2121ba+)(2222ba+…+)(299299ba+2100a=))((1111baba+))((2222baba+…+))((99999999baba+2100a=200)[(9921aaa-)](9921bbb）+10000=108001000098989902200＝）（……②由①②得：)(2100232221aaaa=1328750．四.（15分）正2006边形P的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P的边数记作m(AB)．由于m(AB)+m(BC)+m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B段上P的边数为奇数，故A-B段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003个．设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．五.(15分)求最小实数M，使得对一切实数a，b，c都成立不等式2222222222|()()()|()ababbcbccacaMabc≤解：222222()()()ababbcbccaca()()()()abbccaabc．设abxbcycazabcs，，，，则22222221()3abcxyzs．原不等式成为22222()9||(0)Mxyzsxyzsxyz≥．xyz，，中两个同号而与另一个反号．不妨设xy，≥0．则2221||()2zxyxyxy，≥，2()4xyxy≥．于是由算术－几何平均不等式222222223()(())2xyzsxys≥＝22222111(()()())222xyxyxys6223414())42()||162||8xysxysxyzs≥(≥即9232M时原不等式成立．等号在21sxy，，2z，即::(23):2:(23)abc时达到，故所求的最小的9232M．