2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试试题

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试2012年4月8日上午9：00至11：00得分一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。1.下面四个命题：（1）若两个角是同旁内角，则这两个角互补。（2）若两个角互补，则这两个角是同旁内角。（3）若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。（4）若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。其中错误的命题的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）42.若两位自然数ab的质数，且交换数字后的两位数ba也是质数，则称ab为绝对质数，于是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（）（A）1（B）3（C）7（D）93.如图1，将边长为4cm的等边ABC沿边BC向右平移2cm得DEF，DE与AC交于点G，则ABCABFDSS:四边形（）（A）3：2（B）2：1（C）5：2（D）3：14.有理数cba,,在数轴上的位置如图2所示，O为原点，则代数式ccaabba（）（A）ca23（B）caba2（C）ba2（D）a35.Theperimeterofatriangleis18,whileeachsideisaninteger,ifthelongestsideisnotaprimenumber,thenthenumberofsuchtriangleis()（A）4（B）5（C）6（D）7（英汉小词典：perimeterofatriangle三角形的周长；primenumber质数）6.77可以表示成)2(nn个连续自然数的和，则n的值的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）47.如图3，ABC中，90BCA，点E在边CA上，点D和F在边BA上，若BC=CD=DE=EF=FA，则A（）（A）20（B）18（C）15（D）128.已知x,y是非负整数，且使3421yx是整数，那么这样的数对(x,y)有（）个。（A）1（B）2（C）3（D）20129.身高两两不同的30个学生面向老师站成一排，其中恰有11个学生高于自己左侧相邻的同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（）人。（A）11（B）12（C）18（D）1910.若x+y=3,xy=-1,则55yx（）（A）33（B）231（C）123（D）312二、填空题（每小题4分，共40分）11.计算：20112013201120122013201120122312.已知ABC中，AB=2，BC=9，若AC的长是奇数，则AC=13.若自然数x除以3余2，除以4余3，除以5余4，则x除以15所得余数是14.Ifmnyx2324andnmyx627aresimilarterms,thennmnm)(=15.如图4，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AD上，点F、G在BC上，并且AE=ED=BF=FG=GC，以A、B、C、D、E、F、G这7个点中的三个顶点的三角形中面积最小的三角形有个；面积最大的三角形有个。16.用黑、白两种颜色的11正方形瓷砖，按图5所示的方式铺地板；（图（1）中有53块瓷砖，以后各图都比前前一个加铺52块瓷砖），则有2014块黑色瓷砖的是图5中的第个图。17.图6是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最高有三层，则此立体最少有个小正方体，最多有个小正方体。18.1900年以后出生的人，他出生年份的最后两个数字组成的两位数（如果末两位数字为00或01，则看成两位数00或01，其余类推），加上这个人今年的年龄数，所得的结果是或。（注：今年的年龄数=2012-出生年份）19.已知正n边形nnAAAAA1321的面积是60，若四边形121kkAAAA是一个面积为20的矩形，则这个正n边形的一个内角是度。20.xxxxxP301312151)(345，则)]2()2([31PP三、解答题每题都要写出推算过程21.(本题满分10分)已知cba,,都是整数，如果对任意整数x，代数式cbxax2的值都能被3整除。证明：abc可被27整除。22.（本题满分15分）某公司以每吨500元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：工艺每天可加工药材的吨数出口率售价（元/吨）粗加工1480%5000精加工660%11000受市场影响，该公司必须在10开内将这批药材加工完毕，现有3种方案：（A）全部粗加工：（B）尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售；（C）部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成。问：哪个方案获得的利润最大？是多少？23.（本题满分15分）有一系列数，前两个数是1，2，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的两个数的和的个位数字，请回答以下问题：（1）在这列数中能否依次出现相邻的2，0，1，2这四个数？说明理由；（2）这列数中的第2012个数字是什么？说明理由。一、选择题题号12345678910答案DBBABCBBCC二、填空题题号11121314151617181920答案-20109141217；36718；18112；121506三、解答题21.设cbxaxxP2)(，则cP)0(，因为对任意整数x，代数式的值都能被3整除，所以c|3。这里，c|3的意义是：c被3整除，或3整除c。又因为cbaPcbaP)1(,)1(，所以cbacba|3,|3从而)]1()1([|3PP，即b2|3由于（3，2）=1所以b|3又因为)]1()1([|3PP所以)22(|3ca由于（3，2）=1所以)(|3ca上面已经证明了c|3所以a|3因为cba|3,|3,|3所以abc|2722.因为每吨药材的收购价是500元，所以100吨药材的收购费用是500×100=50000（元）（1）若100吨药材全部被粗加工，则所需加工的时间是100÷14=10750（天）可获得的利润是5000×100×80%-50000=350000（元）（2）若尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售，则10天可精加工的药材量是6×10=60（吨）于是精加工部分可获得11000×60×60%=396000（元）剩余100-60=40（吨）的药材直接在市场上销售，1000×40=40000（元）两项合计可得利润396000+40000-50000=386000（元）（3）若部分精加工，部分精加工，且恰好10天完成，则不妨设粗加工x天，则14x+6×(10-x)=100解得x=5于是这种方案共可获得利润14×5×0.8×5000+6×5×0.6×11000-50000=428000(元)综上，第三个方案获得的利润最大，是428000元。23.（1）否。假设能出现，则因为2+0=2，而2不等于1，于是矛盾，故不会有2，0，1，2连续出现的情形。（2）注意到数串出现的只是0到9的数字，其中5个奇数，5个偶数，所以不同的（奇，偶）对共有5×5=25对，因此，根据抽屉原理，（奇，偶）对在这无穷数串中必定会重复出现，此后成周期循环，我们通过实验找规律发现，第61个数等于第1个数，第62个数等于第2个数，以下各数以60为周期循环出现。因为2012÷60=33……32，所以这列数中的第2012个数字等于第32个数字，即8.