2012年全国初中数学竞赛预赛试题

全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】（A）2,3,1（B）2,2,1（C）1,2,1（D）2,3,2【答】A．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)ymxm的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【】（A）1m（B）1m（C）1m（D）1m【答】C．解：一次函数(1)(1)ymxm的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以10,10.mm解得1m．3．如图，在⊙O中，CDDAAB，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【】（A）0（B）1（C）2（D）3【答】D．解：因为CDAB，所以DC=AB；因为ADAB，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB=x度，则由△DAB的内角和为180°得：2(30)180xx，解得80x．4.有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】（A）34（B）23（C）13（D）21【答】B．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有第3题图ODCBA4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264.5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,0)，点B的坐标是(3,3)，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个【答】D．解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2=225126，可得)62,0(),62,0(21CC，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得34(0,1),(0,7)CC，AB的中垂线交y轴于点C5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5C．6．已知二次函数221yxbx（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【】（A）221yx（B）2112yx（C）241yx（D）2114yx【答】A．解：221yxbx的顶点坐标是88,42bb，设4bx，882by，由4bx得xb4，所以222218)4(888xxby．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2nm，则124222nmnm的值为．【答】7．解：71221)(212422222nmnmnm．yxO第6题图xyOABC1C2C3C4C5第5题图8．方程112(1)(2)(2)(3)3xxxx的解是．【答】120,4xx．解：11(1)(2)(2)(3)xxxx11111223xxxx11213(1)(3)xxxx.∴22(1)(3)3xx，解得120,4xx.9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA，则点A的坐标是．【答】(1,1)ba．解：分别过点A、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BAD．由于点A的坐标是(,)ab，所以ODOBBD1OBACb，1ADBCa，所以点的A坐标是(1,1)ba．10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，DE是以点A为圆心2为半径的41圆弧，NB是以点M为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为．【答】2．解：连接MN，显然将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND的面积，等于221．11．已知α、β是方程2210xx的两根，则3510的值为．ABCDMN第10题图EDCA'BAOyx第9题图【答】2．解：∵α是方程2210xx的根，∴212．∴322(12)22(12)52，又∵2,∴3510(52)5105()8=5(2)82．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x≤145，解得x≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为0~9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况：…………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010xy，依题意，得2012(200010)20xyxy，整理，得1011,2xyx、y均为0~9的整数，∴0.x此时5.y∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010xy，依题意，得2012(190010)19xyxy，整理，得111022xy，故x为偶数，又1021110211,09,22xxy≤≤∴779,11x≤≤∴8.x此时7.y∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁．…………………14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是(0,3)，设直线PQ的解析式为ykxb．（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线25yaxax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．解：（1）直线ykxb经过P(0,3)，∴3b．∵B(3,2)，A(5,0)，BD=BA，∴点D的坐标是(1,0)，∴BD的解析式是1yx,13.x≤≤依题意，得1,3.yxykx，∴4,1xk∴413.1k≤≤解得13.3k≤≤……………………………………………7分（2）13,3k≤≤且k为最大整数，∴1k.则直线PQ的解析式为3yx.……………………………………………9分又因为抛物线25yaxax的顶点坐标是525,24a，对称轴为52x．解方程组.25,3xxy得.21,25yx即直线PQ与对称轴为52x的交点坐标为51(,)22，∴125224a．解得822525a．……………………………………15分15.如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是MN上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明223PQOA是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四边形OABC是矩形．∴OCABOCAB,//．ABCODEFGPQMN图①QPxyDCBAO∵E、G分别是AB、CO的中点，∴.,//GCAEGCAE∴四边形AECG为平行四边形.∴.//AGCE……………………………4分连接OB，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．此时∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE．………………………………8分∴ADAEBEBC．设OA=x，AB=y，则2x∶2y=2y∶x，得222yx．…10分又222OAABOB，即2221xy．∴2221xx，解得33x．∴当OA的长为33时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE交PQ于O，则.,EOGOQOPO．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B、A．由△PCF∽△PEG得，2,1PGPEGEPFPCFC∴PA=23AB=13AB，GA=13GE=13OA，∴1126AOGEGAOA．在Rt△PAO中，222POPAAO，即2224936PQABOA，又221ABOA，∴22133PQAB，∴2222143()33OAPQOAAB．……………………………………18分ABCODEFGPQMN图②B'NMA'QPO'GFEDCBAO图③