2012全国初中数学竞赛试题(安徽赛区)

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、如果22a，那么11123a的值为【】（A）2（B）2（C）2（D）222、在平面直角坐标系xOy中，满足不等式yxyx2222的整数点坐标（x，y）的个数为【】（A）10（B）9（C）7（D）53、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．30ADC，AD=3，BD=5，则CD的长为【】（A）23（B）4（C）52（D）4.54、如果关于x的方程20xpxqpq（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【】（A）5（B）6（C）7（D）85、黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数ab，，然后删去ab，，并在黑板上写上数abab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【】（A）2012（B）101（C）100（D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、如果a，b，c是正数，且满足9abc，111109abbcca，那么abcbccaab的值为．7、如图，⊙O的半径为20，A是⊙O上一点．以OA为对角线作矩形OBAC，且12OC．延长BC，与⊙O分别交于DE，两点，则CEBD的值等于285．．8、设n为整数，且1≤n≤2012.若22(3)(3)nnnn能被5整除，则所有n的个数为.9、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称xyz（，，）是三角形数．若abc（，，）和111abc（，，）均为三角形数，且a≤b≤c，则ac的取值范围是.10、已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对ab（，）使得22abn成立，则这样的n的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系xOy中，8AO，ABAC，4sin5ABC．CD与y轴交于点E，且COEADESS△△．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．12、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB＋AD＝2BD.13、给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150？并说明理由．14、将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数abc，，（可以相同）使得bac，求n的最小值．1．解：B∵213a∴1231a，12312a，123121a因此原式=22．解：B解法一：yxyx2222化为21122yx3．4解：图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．由于AC=BC，CD=CE，4．解：C∵p、q是正整数∴042qp，021qxx∴正根为3242qpp解得pq39∴11qp，21qp，31qp，41qp，51qp，12qp，22qp5.解：C1)1)(1(baabba∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(，31)131)(12(，41)141)(13(，……1001)11001)(199(6.解：7在910111accbba两边乘以9cba得103acbcbabac即7acbcbabac7.解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OMDE．因为22201216OB，所以161248205OBOCOMBC，22366455CMOCOMBM，．CEBDEMCMDMBM（）（）643655BMCM2858.解：1600953332422222nnnnnnnn因此9|54n，所以)5(mod14n，因此25k,15或kn240252012所以共有2012-402=1600个数9.解：1253ca依题意得：acbcba111，所以acb，代入（2）得caccba11111，两边乘以a得caaca1即acacac化简得0322caca，两边除以2c得0132caca所以253253ca另一方面：a≤b≤c，所以1ca综合得1253ca10.解：依题意得bababan22由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当1≤n≤100时，4的倍数共有25个但是224，6412224，8416232，10420240，8612424248，14428256，10630260，1643226412618436272，10820440280，2244428812816624448296这些不符合要求，因此这样的n有25-12=13个11.解：因为sin∠ABC=45AOAB，8AO，所以AB=10．由勾股定理，得262BOABAO．易知ABOACO△≌△，因此CO=BO=6．于是(08)A，，(60)B，，(60)C，．设点D的坐标为()mn，．由COEADESS△△，得CDBAOBSS△△．所以1122BCnAOBO，1112()8622n．解得4n．因此D为AB的中点，点D的坐标为(34)，．因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为8(0)3，．设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)yaxx．将点E的坐标代入，解得a=272．故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273yx．12.（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CIDIADIDA，CDICDBBDIBACIDAIADIDA．所以CIDCDI，CI=CD．同理，CI=CB．故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA=OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI．故OI是△IBD外接圆的切线．（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．由BCCD，知OC⊥BD．因为∠CBF=∠IAE，BC=CI=AI，所以RtBCFRtAIE△≌△．所以BF=AE．又因为I是△ABD的内心，所以22ABADBDAEBDBDBFBD．故2ABADBD．14.解：当1621n时，把23n，　，　，分成如下两个数组：88162322121，　，　，　，　，　和84521，　，　，　．在数组88162322121，　，　，　，　，　中，由于38821632221（，），所以其中不存在数abc，，，使得bac．在数组84521，　，　，　中，由于48421，所以其中不存在数abc，，，使得bac．所以，162n．下面证明当162n时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224在第二组．同理可设4842在第一组，8216(2)2在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282abc，，，此时bac；如果8在第二组，我们取16482abc，，，此时bac．综上，162n满足题设条件．所以，n的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．