2013高考数学精讲精练第05章 数列

2013高中数学精讲精练第五章数列【知识图解】【方法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课数列的概念【考点导读】1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n项和的问题。【基础练习】1.已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=3。函数数列一般数列通项前n项和特殊数列等差数列等比数列通项公式中项性质前n项和公式公式通项公式中项性质前n项和公式公式分析:由a1=0,)(1331Nnaaannn得,0,3,3432aaa由此可知:数列}{na是周期变化的,且三个一循环,所以可得:.3220aa2．在数列{}na中，若11a，12(1)nnaan，则该数列的通项na2n-1。3．设数列{}na的前n项和为nS，*1(31)()2nnaSnN，且454a，则1a____2__.4．已知数列{}na的前n项和(51)2nnnS，则其通项na52n．【范例导析】例1．设数列{}na的通项公式是285nann，则（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085nn就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。解：（1）由27085nn得：13n或5n所以70是这个数列中的项，是第13项。（2）这个数列的前5项是2,7,10,11,10；（图象略）（3）由函数2()85fxxx的单调性：(,4)是减区间，(4,)是增区间，所以当4n时，na最小，即4a最小。点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。例2．设数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nSnnNn均在函数y＝3x－2的图像上,求数列{}na的通项公式。分析：根据题目的条件利用nS与na的关系：na1(1)(2)nSnSn当时当时，（要特别注意讨论n=1的情况）求出数列{}na的通项。解：依题意得，32,nnnS即232nnnS。当n≥2时，22(32)312(1)651nannnnnnnSS;当n=1时，111aS所以*65()nannN。例3．已知数列｛an｝满足11a,)(12*1Nnaann（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足12111*44...4(1).()nnbbbbnanN,证明：{}nb是等差数列;分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。解：（I）*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列。12.nna即*21().nnanN（II）1211144...4(1).nnbbbbna12(...)42.nnbbbnnb122[(...)],nnbbbnnb①12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb②；②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb③∴21(1)20.nnnbnb④③－④，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnNnb是等差数列。点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。【反馈演练】1．若数列na前8项的值各异，且8nnaa对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍na前8项值的数列为（2）。（1）21ka（2）31ka（3）41ka（4）61ka2．设Sn是数列na的前n项和，且Sn=n2，则na是等差数列，但不是等比数列。3．设f（n）=nnnn21312111（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于221121nn。4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=90n（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是7月、8月。5．在数列{}na中，12341,23,456,78910,aaaa则10a505。6．数列na中，已知21()3nnnanN，（1）写出10a，1na，2na；（2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？解：（1）∵21()3nnnanN，∴10a21010110933，1na221113133nnnn，2na222421133nnnn；（2）令2793213nn，解方程得15,16nn或，∵nN，∴15n，即2793为该数列的第15项。第2课等差、等比数列【考点导读】1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；2．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；3．注意函数与方程思想方法的运用。【基础练习】1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1=-2，公差d=3。2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是163，第2项是8。3．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa105。4．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于3。【范例导析】例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有13项。（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是2。解：（1）答案：13法1：设这个数列有n项∵dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313∴3902)1(146)2(3334)(3111dnnnandada∴n＝13法2：设这个数列有n项∵1231234,146nnnaaaaaa∴121321()()()3()34146180nnnnaaaaaaaa∴160naa又1()3902nnaa∴n＝13（2）答案：2因为前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝33S＝4又a1·a2·a3＝48，∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B.点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。例2．（1）已知数列))}1({log*2Nnan为等差数列，且.9,331aa（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）证明.111112312nnaaaaaa分析：（1）借助.9,331aa通过等差数列的定义求出数列))}1({log*2Nnan的公差，再求出数列}{na的通项公式，（2）求和还是要先求出数列}1{1nnaa的通项公式，再利用通项公式进行求和。解：（1）设等差数列)}1({log2na的公差为d，由,8log2log)2(log2:9,322231daa得即d=1。所以,1)1(1)1(log2nnan即.12nna（II）证明：因为nnnnnaa21221111，所以nnnaaaaaa2121212111132112312L.1211211212121nn点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。例3．已知数列na的首项121aa（a是常数，且1a），24221nnaann（2n），数列nb的首项1ba，2nabnn（2n）。（1）证明：nb从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设nS为数列nb的前n项和，且nS是等比数列，求实数a的值。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。解：（1）∵2nabnn∴22211)1(2)1(4)1(2)1(nnnanabnnnnnbna2222(n≥2)由121aa得24aa，22444baa，∵1a，∴20b，即{}nb从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）1(44)(12)34(22)212nnnaSaaa当n≥2时，111(22)234342(22)234(1)234nnnnnSaaaSaaaa∵}{nS是等比数列,∴1nnSS(n≥2)是常数，∴3a+4=0，即43a。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。【反馈演练】1．已知等差数列na中，247,15aa，则前10项的和10S＝210。2．在等差数列na中，已知1232,13,aaa则456aaa＝42。3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是3。4．如果1,,,,9abc成等比数列，则b3，ac-9。5．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.解：(1)依题意有：0212131302111212,12211311213daSdaSdaa解之得公差d的取值范围为－724＜d＜－3.(2)解法一：由d＜0可知a1a2a3…a12a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即0)2(0)3(33dkadka∵a3=12,∴122123dkddkd，∵d＜0,∴2－d12＜k≤3－d12∵－724＜d＜－3,∴27＜－d12＜4,得5.5＜k＜7.因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.解法二：由d＜0得a1a2…a12a13，因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13=132S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12=61S120,∴a6≥－a70故在S1，S2，…，S12中S6最大.解法三：依题意得：