2013高中数学精讲精练第07章 立体几何初步

2013高中数学精讲精练第七章立体几何初步【知识图解】【方法点拨】立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。空间几何体构成几何体的基本元素柱、锥、台、球的特征直观认识线面平行与垂直表面积与体积中心投影与平行投影直观图与三视图的画法点、线、面之间的位置关系平面的基本性质确定平面的位置关系空间中的平行关系直线与直线的平行关系直线与平面平行的判断及性质平面与平面平行的判断及性质空间中的垂直关系直线与平面垂直的判断及性质平面与平面垂直的判断及性质直线与直线的垂直关系第1课空间几何体【考点导读】1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。【基础练习】1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有14条棱，8个面；②如果它是棱柱，那么它有12条棱6个面。2.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是③④。（2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的②③（要求：把可能的图的序号都．填上）.【范例导析】例1．下列命题中，假命题是（1）（3）。（选出所有可能的答案）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。例2．CBA是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若CBA的面积为3，那么△ABC的面积为_______________。解析：62。①②③④ABCDEFG点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。例3．（1）画出下列几何体的三视图（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：（2）该几何体为一个正四棱锥。点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。【反馈演练】1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是221。2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR=332。（2）解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有34πr3=πR2r。故332rR。答案为332。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是23。4．空间四边形ABCD中，8AC，12BD，HGFE、、、分别是DACDBCAB、、、边上的点，且EFGH为平行四边形，则四边形EFGH的周长的取值范围是_)24,16(_。5．三棱锥ABCP中，xPC，其余棱长均为1。（1）求证：ABPC；（2）求三棱锥ABCP的体积的最大值。解：（1）取AB中点M，∵PAB与CAB均为正三角形，∴CMABPMAB,，∴AB平面PCM。∴PCAB(2)当PM平面ABC时，三棱锥的高为PM，此时8123433131maxPMSVABC6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积．解:（1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：Rl2,即21cos1lRACO,所以母线和底面所成的角为.600(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且.211ABOO在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），得：R=2p，l=2R=4p.∴圆锥的全面积为22221248pppRRl.说明：将立体几何与解析几何相链接,颇具新意,预示了高考命题的新动向.PABCMEABCDA1B1C1D1第2课平面的性质与直线的位置关系【考点导读】1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。【基础练习】1下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（3）。（1）∵BA,，∴AB．（2）∵aa,，∴a．（3）∵aaA,，∴A．（4）∵aaA,，∴A．2．下列推断中，错误的是（4）。（1）lBlBAlA,,,奎屯王新敞新疆（2）CBACBA,,,,,，A,B,C不共线,重合（3）ABBBAA,,,奎屯王新敞新疆（4）AlAl,奎屯王新敞新疆3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面（）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）（3）两条直线可以确定一个平面（）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）（5）两条相交直线可以确定一个平面（）（6）三条平行直线可以确定三个平面（）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（）⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×4．如右图，点E是正方体1111ABCDABCD的棱1DD的中点，则过点E与直线AB和11BC都相交的直线的条数是：1条5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE是异面直线奎屯王新敞新疆证明：假设__共面于，则点A、E、B、D都在平面__内奎屯王新敞新疆Aa，Da，∴__γ.Pa，∴P__.Pb，Bb，Pc，Ec∴__，__，这与____矛盾奎屯王新敞新疆∴BD、AE__________奎屯王新敞新疆答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面内。∵Aa，Da，∴a.∵Pa，P.∵Pb，Bb，Pc，Ec.∴b，c，这与a、b、c不共面矛盾奎屯王新敞新疆∴BD、AE是异面直线奎屯王新敞新疆【范例导析】例1．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFKOBOGkOCOHkOD，（1）求证：四点,,,EFGH共面；（2）平面AC//平面EG．分析：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，也可以转化为直线共面的条件即几何证法。解：法一：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，∵EGOGOE，()()()kOCkOAkOCOAkACkABADkOBOAODOAOFOEOHOEEFEH∴,,,EFGH共面；（2）∵()EFOFOEkOBOAkAB，又∵EGkAC，∴//,//EFABEGAC所以，平面//AC平面EG．法二：（1）EFOFOE,,OEkOAOFKOB∴()EFkOBOAkAB∴//EFAB同理//HGDC又//ABDC∴//EFHG∴,,,EFGH共面；（2）由（1）知：//EFAB，从而可证//EFABCD面同理可证//FGABCD面，所以，平面//AC平面EG．点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。例2．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.分析：证明两条直线异面通常采用反证法。证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，所以A、B、C、D四点共面这与空间四边形ABCD的定义矛盾所以对角线AC与BD是异面直线(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=21AC.OABCDHFGEACDPB同理HG//AC,且HG=21AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。例3．如图，已知E，F分别是正方体1111ABCDABCD的棱1AA和棱1CC上的点，且1AECF，求证：四边形1EBFD是平行四边形简证：由1AECF可以证得ABE≌11CDF所以1BEDF又可以由正方体的性质证明1//BEDF所以四边形1EBFD是平行四边形例4：如图，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为,PCAB，所以PCAB．同理PDAB．又PCPDP，故AB平面PCD．（Ⅱ）平面平面。证明如下：设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角．又1,2PCPDCD