2013年全国高中数学联赛一试试卷

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设集合{2,0,1,3}A=，集合2{|,2}BxxAxA=-??．则集合B中所有元素的和为____________．2．在平面直角坐标系xOy中，点AB、在抛物线24yx=上，满足4OAOB?-，F是抛物线的焦点.则OFAOFBSS?_____________.3．在ABC中，已知sin10sinsin,cos10coscosABCABC==，则tanA的值为______.4．已知正三棱锥PABC-底面边长为1，高为2，则其内切球半径为________.5．设,ab为实数，函数()fxaxb=+满足：对任意[0,1]xÎ，有()1fx£.则ab的最大值为_____________.6．从1,2,,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7．若实数,xy满足42xyxy-=-，则x的取值范围是____________.8．已知数列{}na共有9项，其中191aa==，且对每个{1,2,,8}iÎ，均有112,1,2iiaa+禳镲镲?睚镲镲铪，则这样的数列的个数为__________.二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．（本题满分16分）给定正数{}nx满足12,2,3,nnSSn-?，这里1nnSxx=++.证明：存在常数0C，使得2,1,2,nnxCn匙=.10．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为22221(0)xyabab+=，12AA、分别为椭圆的左、右顶点，12FF、分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于1A和2A的任意一点.若平面中两个点QR、满足11221122,,,QAPAQAPARFPFRFPF^^^^，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.11．（本题满分20分）求所有的正实数对(,)ab，使得函数2()fxaxb=+满足：对任意实数,xy，有()()()()fxyfxyfxfy++?.