2013年全国数学竞赛试题详细参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分）1．已知实数xy，满足42424233yyxx，，则444yx的值为（）．（A）7（B）1132（C）7132（D）5【答】（A）解：因为20x，2y≥0，由已知条件得212444311384x，2114311322y，所以444yx22233yx2226yx7．另解：由已知得：2222222()()30()30xxyy，显然222yx，以222,yx为根的一元二次方程为230tt，所以222222()1,()3yyxx　　故444yx＝22222222[()]2()(1)2(3)7yyxx　2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数2yxmxn的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（第3题）FEDCOAB（A）512（B）49（C）1736（D）12【答】（C）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.由题意知＝24mn＞0，即2m＞4n.通过枚举知，满足条件的mn，有17对.故1736P.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有()．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条【答】（B）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且1ABa．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBABa，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）．（A）52a（B）1（C）32（D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB．设D，则120ECAEAC．又因为1160180222ABOABD120，所以ACE△≌ABO△，于是1AEOA．另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B上，由11603022FEDACBA所以2301AEEFsimFsim（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种【答】（D）解：设12345aaaaa，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234aaaa，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果ia（1≤i≤3）是偶数，1ia是奇数，则2ia是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345aaaaa，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：uvuvv．若关于x的方程1()4xax有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．【答】0a，或1a．解：由1()4xax，得21(1)(1)04axax，依题意有210(1)(1)0aaa，，解得，0a，或1a．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则syx66．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则syx33．②（第8题）（第9题答案）NEFMDBCA由①，②可得xs4，所以4xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．【答】9．解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．又//MFAD，所以FMNBADDACMFN，所以12FNMNAB．因此1122FCFNNCABAC9．另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交AE于点N.则EBADDACACE所以11AEAC.又//FNCE，所以四边形CENF是等腰梯形，即11(711)922CFENBE9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．【答】163．解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为ah，则11()22aABCahSabcr△，所以arahabc．因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此aahrDEhBC，所以(1)(1)aaahrraDEaaahhabc()abcabc，故879168793DE（）．（第8题答案）另解：()()()ABCSrpppapbpc＝12435125（这里2abcp）所以125512r，22125358ABCaSha△由△ADE∽△ABC，得3552335aahrDEBCh，即21633DEBC10．关于x，y的方程22208()xyxy的所有正整数解为．【答】481603232.xxyy，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设2,2xayb，则22104()abab，同上可知，a，b都是偶数．设2,2acbd，则2252()cdcd，所以，c，d都是偶数．设2,2csdt，则2226()stst，于是22(13)(13)st＝2213，其中s，t都是偶数．所以222(13)213(13)st≤2222131511．所以13s可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t＝289，从而13s＝7．于是62044sstt，，；，因此481603232.xxyy，，，另解：因为222(104)(104)210421632xy则有2(104)21632,y又y正整数，所以143y令22|104|,|104|,21632axbyab　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632ab知22,ab的个位数只能是1和1或6和6；当22,ab的个位数是1和1时，则,ab的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22ab的十位数字为3矛盾。当22,ab的个位数是6和6时，则,ab的个位数字可以为4或6。由105147b，取b＝106，114，116，124，126，134，136，144，146代入2221632ab得，只有当b＝136时，a=56，即|104|56|104|136xy解得48160,3232xxyy三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数bkxy0k（）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3OAOB．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．解：（1）令0x，得0ybb，；令0y，得00bxkk，．所以A，B两点的坐标分别为0)(0)bABbk（，，，，于是，△OAB的面积为)(21kbbS．由题意，有3)(21bkbkbb，解得)3(222bbbk，2b．………………5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222bbbbbSbkbb2101027(2)721022bbbb≥1027，当且仅当1022bb时，有7+210S，即当102b，1k时，不等式中的等号成立．所以，△ABC面积的最小值为1027．………………15分12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程20pxqxp有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224qpn，其中n是一个非负整数．则2()()4qnqnp．………………5分由于1≤qn≤q+n，且qn与qn同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：222qnqnp，，24qnqnp，，4qnpqnp，，22qnpqnp，，24.qnpqn，消去n，解得22251222222pppqpqqqpq，，，，．………………10分对于第1，3种情形，2p，从而q＝5；对于第2，5种情形，2p，从而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．又当2p，q＝5时，方程为22520xx，它的根为12122xx，，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数………………15分★12、已知,ab为正整数，关于x的方程220xaxb的两个实数根为12xx，，关于y的方程220yayb的两个实数根为12y，y，且满足11222008xyxy.求b的最小值.另解：由韦达定理，得12122,xxaxxb　；12122,yyayyb　即12121212122()()(),()()yyaxxxxyybxx　解得：11122221yxyxyxyx或把12,yy的值分别代入11222008xyxy得1122()()2008xxxx或1221()()2008xxxx（不成立）即22212008xx，2121()()2008xxxx因为121220,0xxaxxb　所以120,0xx　于是有22442008aab即250215022251aab因为a,b都是正整数，所以2222221505225150212514aaaaabababab或或或分别解得：2222150222511502502122512514aaaabbbb