2013全国高中数学联赛模拟题1

2013全国高中数学联赛模拟题1一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、已知函数)0(1222bxcbxxy的值域为]3,1[，则cb2、已知,Ra并且axxa222)0(a，则a的取值范围是3、设在xOy平面上，20xy，10x所围成图形的面积为31，则集合},1),{(xyyxM}1),{(2xyyxN的交集NM所表示的图形面积为4、3322)(22xxxxxf的最小值为5、已知复数sincosiz，sincosiu，且iuz5354.则)tan(＝6、过椭圆C：12322yx上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为7、设][x表示不超过x的最大整数，则]500[log]3[log]2[log]1[log33338、设p是给定的奇质数，正整数k使得2kpk也是一个正整数，则k=____________二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）在△ABC中，A,B,C所对边分别为cba,,，且34coscos,10abBAc，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值10、（本题20分）数列}{na中，2,841aa且满足)(212Nnaaannn（1）求数列}{na的通项公式；（2）设)(,)12(121NnbbbTanbnnnn，是否存在最大的正整数m，使得对于任意的Nn,均有32mTn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。11、（本题20分）给定圆P:222xyx及抛物线S:24yx,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,,,ABCD,如果线段,,ABBCCD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.2010年全国高中数学联赛模拟题1（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）联结圆内接等腰梯形ABCD的对角线,ACBD相交于E，已知图中各条线段均为正整数，且22120,7AEDABDACDAD.(1)求证图中存在一个三角形，其三边长均为素数且组成一个等差数列.(2)若给点,,AED染上红色，圆面上的其它点任意染上红蓝色之一，求证圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数.2、（本题40分）已知实函数(,)fxy满足①(,0)1,fx②((,),)(,).ffxyzfzxyz求(,)fxy的表达式.3、（本题50分）求不定方程21533654321xxxxxx的正整数解的组数．4、（本题50分）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这5个整数和为正。若其中三个相连顶点相应的整数依次为,,xyz，而中间的0y，则要进行如下操作：整数,,xyz分别换为,,xyyzy，只要所得的5个整数中至少有一个负时，这种操作就继续进行，问：是否这样的操作进行有限次后必定终止。20103全国高中数学联赛模拟题1一试参考答案一、填空题1、0,将)0(1222bxcbxxy代入31y得不等式030122cbxxcbxx∴0)3(40)1(42121cbcb又函数的值域为]3,1[，函数值能取到1和3，即112,3122222xcbxxxcbxx有解，故0)3(40)1(42121cbcb得c＝2，b＝22、002)1(22axxa22222)(2002)2(axxaaxxa]22,22[,0,0),0,32(,0aaaaaa解集为，解集为解集为（P596）3、NM在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此NM的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，NM的图形在第一象限的面积为A＝613121。因此NM的图形面积为324、定义域为),2[]0,(,332,222xxxx在]0,(上是减函数，在),2[,上是增函数，故3)}2(),0(min{)(ffxfnin5、解（1）依题设，有sincossincosiiuz)sin(sincoscosii5354.根据复数相等的充要条件，知②①.53sinsin,54coscos由①得542cos2cos2.③由②得532sin2sin2.④③④得432tan.所以7242tan12tan2tan2.6、)1,33[,设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以11PQHP，所以由定比分点公式，可得：yyxx11)1(3，代入椭圆方程，得Q点轨迹为123)]1(3[222yx，所以离心率e=)1,33[3213223227、解：设nx][log3，则1log3nxn，133nnx10330xn时，，符合条件的整数x有2个21331xn时，，符合条件的整数x有6个32332xn时，，符合条件的整数x有18个43333xn时，，符合条件的整数x有54个54334xn时，，符合条件的整数x有162个65335xn时，，结合500x，符合条件的整数x有258个共258516245431826120＝21428、解：设222*224,,0,2ppnkpknnNkpknk则，从而224pn是平方数，设为2*2,,(2)(2)mmNmnmnp则22212123,,214pmmnppmnppn是质数，且解得222(1)(1),244pmpppkk故。（负值舍去）二、解答题9、易证A+B＝90°，8,6ba，内切圆半径为2，用解析法建系，写出园方程，设P（x，y）则点P到A,B,C的距离的平方和S=88-4y，40y，最大值为88，最小值为72（P44）10、数列}{na为等差数列，102nan，)111(21nbn，存在最大正整数m＝7（P450）11、解:圆P的方程为2211xy,则其直径长2BC,圆心为1,0P,设l的方程为1kyx,即1xky,代入抛物线方程得:244yky,设1122,,,AxyDxy有442121yykyy,则212212214)()(yyyyyy故)4()()()(||22212212212212yyyyxxyyAD22221221)1(16])4(1[)(kyyyy,因此)1(4||2kAD据等差,BCADCDABBC2,所以63BCAD即6)1(42k,22k,则l方程为122yx或122yx.xyoABCDP2013全国高中数学联赛模拟题1（二试）1、证明(1)在AED中，由120,7AEDAD知，AD为最长边，且由余弦定理得22227AEDEAEDEAEDEAEDE.把,AEDE取1,2,3,4,5,6中的值验证，得,AEDE只能取3，5.故存在AED，其三边长3，5，7均为素数且组成一个等差数列.(2)不妨设5,3AEDE，由22120AEDABDACD知，ABE是边长为5的等边三角形，CDE是边长为3的等边三角形.作边长为7的等边ADF，等边BCG，联结FG交BD于H.再联结,,BFFCDG，由60DECDBFACF得//ECBF，//EBCF，四边形EBFC为平行四边形，3BFCE，又60DBFGFB，得BFH是边长为3的等边三角形.同理，GHD是边长为5的等边三角形.当,,BFC中有红点时，命题已成立.当,,BFC中无一为红点时，考虑H，若H为蓝点，则BFH是同蓝色的等边三角形，其边长为素数3；若H为红点，考虑点G，若G为红点，则GED是同红色的等边三角形，其边长为素数5；若G为蓝点，则GBC是同蓝色的等边三角形，其边长为素数7.综上得，圆面上存在一个同色等边三角形，其边长为素数.2、解把①代入②，有1,,0,,01fyffxyfyyy，③进而,111,1fxfx1,1,1ffx（由③）1,111fx111x1x④一方面由④有,,1,1,ffxyfxy⑤另一方面由②、③有,,11,111.ffxyfxyxy⑥由⑤⑥得,111fxyxy，即,1fxyxy.检验知,1fxyxy为所求.3、解令xxxx321，yxx54，zx6，则1,2,3zyx．先考虑不定方程2153zyx满足1,2,3zyx的正整数解．1,2,3zyx，123215yxz，21z．当1z时，有163yx，此方程满足2,3yx的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(yx．当2z时，有113yx，此方程满足2,3yx的正整数解为)2,5(),(yx．所以不定方程2153zyx满足1,2,3zyx的正整数解为)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(zyx．又方程)3,(321xNxxxxx的正整数解的组数为21xC，方程yxx54)2,(xNy的正整数解的组数为11Cy，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为81693036CCCCCCCC1124132312261129．4、解：必定终止。变换前后三个数和虽然不变，但是平方和变小，若不终止，整数的平方和为0，即各整数均为零，还得终止。