2013全国高中数学联赛模拟题3

2013全国高中数学联赛模拟题3一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、若实数x、y满足条件122yx，则xyx212的取值范围是___________________.2、已知cba,,为非负数，则cbcbaaccbaf),,(的最小值为3、设AB是椭圆12222byax（0ba）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则21111PFPFAF+…BFPF1991的值是4、从一个有88条棱的凸多面体P，切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q，这些被切去的棱锥的底面所在的平面在P上或内部互不相交，则凸多面体Q的棱数是。5、设函数:fxRR，且满足，,xyR，23336fxfyfxyfxyfxx，则fx.6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为7、设201021,,,aaa均为正实数，且21212121201021aaa，则201021aaa的最小值为____________________.8、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）设S={1，2，…，n}，A为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部都在S中，且添加S的其他元素等于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看做等差数列）.（全国高中数学联赛，1991年）10、（本题20分）已知F为抛物线xy42的焦点，M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为1k的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为2k．（I）求21kk的值；（II）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．11、（本题20分）已知函数2()2lnfxxx。（I）若方程()0fxm在1[,]ee内有两个不等的实根，求实数m的取值范围．（II）如果函数()()gxfxax的图象与x轴交于两点1(,0)Ax，2(,0)Bx，且120xx。求证：12'()0gpxqx（其中正常数p、q满足1,pqqp）。2013全国高中数学联赛模拟题3加试（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）在△ABC中，AB＞BC，K、M分别是边AB和AC的中点，O是△ABC的内心。设P点是直线KM和CO的交点，而Q点使得QP⊥KM且QM∥BO，证明：QO⊥AC。2、（本题40分）已知无穷数列na满足,,10yaxa,2,11111naaaaannnnn.（1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数0n,使当0nn时，na恒为常数？（2）求数列na的通项公式.3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.(第6届国际数学奥林匹克试题)4、（本题50分）设*211,1,3Nnaaaannn，证明：（1）对所有)4(mod3,nan；（2）当mm时，1),(nmaa（即nmaa,互质）2013全国高中数学联赛模拟题3参考答案一试1、)2,2(.提示:令tan,secyx2、2；2131),,(ccbcbaaccbcbaaccbaf3、a101.（方法一）由椭圆的定义知aPFPFii221(99,,2,1i)，.198992)(99121aaPFPFiii由题意知9921,,,PPP关于y轴成对称分布，.99)(21)(991219911aPFPFPFiiiii又aBFAF211，故所求的值为a101.（方法二）21111PFPFAF+…BFPF1991)()(1exaexaA)()(99Bexaexa.101)(1019921axxxxxeaBA（A,9921,,,PPP,B关于y轴成对称分布）4、264，P的所有棱仍是Q的棱，Q中新的棱由切去的棱锥的底面形成，等于从顶点出发的棱的条数，所以Q的棱的条数有88+2×88=264；5、取0x代入得(0)()(3)3()3(0)ffyffyf，即[(0)3]()(3)3(0)ffyff，显然()fy不恒等于常数，∴(0)30f且(3)3(0)0ff，∴(0)3,(3)9ff，又取0y代入可得()23fxx；6、3242a，联想正方体，棱长为a22，球的半径为a427、20104018.提示：令iixa22，则iiixxa12，且121ixxx，其中.2010,,2,1i)(122010322010212010201021xxxxxxaaa)()(200921201031xxxxxx20092009212009201031200920103220102120102009209200912xxxxxxxxxxxx2010201020104018200928、3。44||24)2)(2(020222yxyxyxyxyxyx由对称性只考虑y≥0，因为x0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。二、解答题9、构造具有如下要求的集合A：把A中的元素按从小到大的次序排好后，在其最大元素后面添上S的任何元素均不能构成具有原公差的等差数列。这时，当A的首项与公差一旦确定，其整个集合A也即确定，不妨设A的首项为a，公差为d，则a=1,d=1,2,…,n－1时的集A有n－1个；a=2,d=1,2,…,n－2时的集A有n－2个；……a=n－1，d=1时的集A有1个.因此，所求A的总个数为1+2+…+（n－1）=.2)1(nn10、解：（I）由条件知)0,1(F，设),(11yxA、),(22yxB、),(33yxC、),(44yxD，不妨设01y．直线AB的方程为)1(1xky，与xy42联立得04412yky所以421yy，121xx．①当41x时，则)4,4(A，故1412yy，412x，即)1,41(B．直线AM的方程为4x，从而)4,4(C；直线BM的方程为：)4(154xy，与xy42联立得016152yy，得164y，644x，即)16,64(D．于是341k，31464)4(162k．所以．421kk．②当41x时，直线AM方程为)4(411xxyy与抛物线方程xy42联立得21221)4(4)4(xxxy，又由1214xy，化简上述方程得016)16(12121xxxxx此方程有一根为x1，所以另一根1316xx，1316yy．即)16,16(11yxC，同理，)16,16(22yxD．所以，112122121121224116161616kxxyyyyxxxxyyk，即421kk．由①、②可知421kk．11、解：(Ⅰ)由()fx＝22lnxx求导得到：()fx＝xxx)1)(1(2，],1[eex，故()fx＝0在1x有唯一的极值点，)1(ef＝－2－21e)(ef＝―2―2e，)(xf极大值＝)1(f＝－1，且知)(ef＜)1(ef，故)(xf＝－m，在],1[ee内有两个不等的实根满足：－2－21e≤－m＜－1故m的取值范围为212,1e(Ⅱ)()gx＝x2－2x－a，又()fx－ax＝0有两个不等的实根1x、2x，则0ln20ln222221211axxxaxxx，两式相减得到:2121)ln(ln2xxxxa)(21xx于是'g)(21qxpx＝2221qxpx)(21qxpx－[2121)ln(ln2xxxx)(21xx]＝212qxpx2121)ln(ln2xxxx+)12(p)(12xx∵2p≤1，012xx，∴)12(p)(12xx≤0要证：'g)(21qxpx＜0，只需证：212qxpx+1221)ln(ln2xxxx＜0，只需证：0ln212112xxqxpxxx①令txx21，01t,只需证：qptttu1)(+0lnt在10t上恒成立，又∵2)(11)('qptttu＝2222)())(1(qpttpqttp∵1qp，21q，则1pq，∴122pq，于是由1t可知01t，022pqt故知0)('tu∴)(tu在)1,0(t上为增函数，则)(tu＜)1(u＝0，从而知0ln212112xxqxpxxx即①成立，从而原不等式成立。二试1、证：作OR⊥AC于R，过P作MK的垂线，交直线OR于Q点（如图）。这样只需证Q’M∥O，因为这时Q和Q’重合。因为K，M分别为AB和AC的中点，所以KM∥BC，于是∠MPC＝∠BCP＝21∠ACB＝∠MCP。因此MP＝MC＝MA，这样一来，P点在以AC为直径的圆周上，且∠APC＝90°。在四边形APOR中，∠APO＝∠ARO＝90°，所以APOR内接于圆，∠RPO＝∠RAO＝21×∠BAC。在四形边MPQ’R中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R内接于圆，于是∠Q’MR＝∠Q’PR＝∠Q’PO＋∠OPR＝（90°－∠OPM）＋21∠BAC＝（90°－21∠ACB）＋21∠BAC。设BO交AC于D，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠ACB－21∠ABC＝90°＋21∠BAC－21∠ACB＝∠Q’MR，因此MQ’∥BO，于是本题得证。2、解：由递归方程xxxxf212，得不动点1x.由不动点方法111111111111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa111111nnnnnnnnaaaaaaaa111111nnnnaaaa111111nnnnaaaa.令11nnnaab，则Nnbbbnnn11.易知110xxb，111yyb.注意到23221nnnnnnbbbbbb21012433322nnFFnnnnbbbbbb，其中，11nnnFFF，110FF，nF为斐波那契数列.于是，11nnnaab2101nnFFbb211111nnFFxxyy.故11nnaa2111121nxxyynnFF.（1）要使总存在正整数0n，当0nn时，na恒为常数，还需分情况讨论.（i）若10n，当0nn时，na恒为常数.由ya1，101021aaaaayyxxy1，yyya2123，……有1y，且xy.此时，na恒为常数1或1.（ii）若20n，当0nn时，na恒为常数.首先，当01nnan