2014高三数学一模静安理

静安区2013学年高三年级第一学期期末数学理试卷（试卷满分150分考试时间120分钟）2014.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合，，则.2．（理）已知，，则的值是.3．当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是.4．关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为.5．（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种.（结果用数值表示）6．（理）不等式的解集是.7．若（其中、为有理数），则.8．（理）已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是.9．（理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝2，||＝，若＝λ+μ（λ、μ∈R），则λ+μ的值为.10．设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为.11．（理）已知，且，则的值用表示为.12．（理）已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为.13．（理）若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为.14．（理）已知不等式的解集为，则，且的值为.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．[来源:Z。xx。k.Com]15．（理）“”是“直线与直线互相垂直”的()A．充要条件；B．充分不必要条件；[来源:学+科+网Z+X+X+K]C．必要不充分条件；D．既不充分也不必要条件.16．已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A．①③；B．②；C．②③D．①②③17．已知函数的值域是，则实数的取值范围是()A．；B．；C．；D．.18．（理）已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是()A．或；B．0；C．0或；D．0或.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.[来源:学.科.网Z.X.X.K]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；（2）设为正数，且，求证：.21．（理）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线（其中）.（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.（理）已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.[来源:学科网]2013学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准1．；2．（理）；3．4．；5．（理）；6．（理）；7．169；8．（理）；9．（理）12；10．或.11．（理）；12．（理）；13．（理）；14．（理）4；15．（理）B；16．A．17．C18．D19解：(1)扇形半径，………………………2分扇形面积等于………………………5分弧田面积=（m2）………………………7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦矢+矢2）=.………………………10分平方米………………………12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.20（理）（1）解法1：==………………3分因为、是不全为零的实数，所以，即。………………………6分解法2：当时，；………………………2分当时，作差：；又因为、是不全为零的实数，所以当时，。综上，。………………………6分（2）证明：当时，取得等号3。………………………7分作差比较：0所以，………………………14分（文）证明：（1）………………………3分………………………6分（2）由（1）得（）……………………8分可得………10分………………………12分即.………………………14分21（理）（1）设点在双曲线上，由题意得：。由双曲线的性质，得。……………1分[来源:Z。xx。k.Com]（i）若，则当时，有最小值。最小值，所以。……………3分（ii）若，则当时，有最小值，此时，解得。……………6分（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.………………………7分直线与轴不垂直时，直线方程为，………………………8分设，解法1：将代入双曲线方程，整理得：，即………………………10分所以，………………………11分=.……………14分解法2：将代入双曲线方程，整理得：，………………………10分，，………………………11分点到直线距离，△的面积=.……………14分21文：（1）解法1：设直线方程为，代入双曲线方程得：，…2分由得.设、两点坐标分别为、，则有；又由韦达定理知：，…4分所以，即得点的坐标所满足的方程.…………5分注：或，点的轨迹为两条不包括端点的射线.解法2：设、两点坐标分别为、，则有，，两式相减得：（*）.……2分又因为直线的斜率为2，所以，再由线段中点的坐标，得.……4分代入（*）式即得点的坐标所满足的方程.………………5分（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.………………………6分直线与轴不垂直时，直线方程为，………………………7分设，解法1：将代入双曲线，整理得：，即………………………9分所以，………………………10分=.………………………13分所以，.………………………14分解法2：参见理科解法2。22（1）由已知，有，当时，；………………………2分当时，有，两式相减，得，即，综上，，故数列是公比为的等比数列；…………4分（2）由（1）知，，则，于是数列是公差的等差数列，即，……………………7分则=……………………10分（3）（理）由解得：。………………………12分………………………14分，当时，，函数的值域为。………………………16分（3）（文）不等式恒成立，即恒成立，又在上递减，则．………………………14分………………………16分23（理）（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为。………………………4分（2）的定义域为，………………………5分定义域关于原点对称，又，，所以函数为奇函数。………………………6分下面讨论在上函数的增减性.任取、，设，令，则，，所以因为，，，所以.………………………7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数.………………………8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.……………………9分（3）；……………………10分因为，，所以，。……11分设，时，则，………12分且，………13分由二项式定理，……………………14分所以，从而。……………………18分23（文）：（1）………………………4分（2）由（1），定义域为.………………………5分讨论在上函数的单调性.任取、，设，令，则，，所以因为，，，所以，，所以.………………………7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是增函数.………………………8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是增函数.……………………9分（3）当时，要使的值域是，则，所以，即，………………………11分而，上式化为，又，所以当时，；当时，；………………………13分因而，欲使的值域是，必须，所以对上述不等式，当且仅当时成立，所以解得，.………………………18分