2014年高考安徽省数学（理）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效．．．．．．．，．在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么P（A+B）=P（A）+P（B）P（A·B）=P（A）·P（B）第I卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数。若,1iz则zizi（）A．2B．2iC．2D．2i2．“0x”是“0)1ln(x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34B．55C．78D．894．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是31yytx，（t为参数），圆C的极坐标方程是cos4，则直线l被圆C截得的弦长为（）A．14B．142C．2D．225．yx,满足约束条件02202202yxyxyx，若axyz取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．121或B．212或C．2或1D．12或6．设函数))((Rxxf满足()()sinfxfxx，当x0时，0)(xf，则)623(f（）A．12B．23C．0D．217．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．213B．183C．21D．188．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对9．若函数()12fxxxa的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8B．1或5C．1或4D．4或810．在平面直角坐标系xOy中，已知向量,,1,0,ababab点Q满2()OQab。曲线{|cossin,02}CPOPab，区域{|0||,}PrPQRrR。若C为两段分离的曲线，则()A．13rRB．13rRC．13rRD．13rR（在此卷上答题无效）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．.二．选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。7题图11．若将函数sin24fxx的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小正值是________.12．数列{}na是等差数列，若1351,3,5aaa构成公比为q的等比数列，则q________。13．设na,0是大于1的自然数，nax1的展开式为nnxaxaxaa2210。若点)2,1,0)(,(iaiAii的位置如图所示，则______a。14．设21,FF分别是椭圆)10(1:222bbyxE的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E于BA,两点，若xAFBFAF211,3轴，则椭圆E的方程为__________。15．已知两个不相等的非零向量,ab，两组向量12345,,,,xxxxx和12345,,,,yyyyy均由2个a和3个b排列而成。记1122334455Sxyxyxyxyxy，minS表示S所有可能取值中的最小值。则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）。①S有5个不同的值。②若ab则minS与||a无关。③若ab则minS与||b无关.④若||4||ba，则0minS。⑤若2min||2||,8||baSa，则a与b的夹角为4三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。16．（本小题满分12分）设ABC的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc，且3,1,2.bcAB（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin()4A的值。17．（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立。（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）。18．（本小题满分12分）设函数23()1(1)fxaxxx其中0a。（Ⅰ）讨论()fx在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x时，求()fx取得最大值和最小值时的x的值。19．(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线02:1121pxpyE和02:2222pxpyE，过原点O的两条直线1l和2l，1l与21,EE分别交于21,AA两点，2l与21,EE分别交于21,BB两点。（Ⅰ）证明：;//2211BABA（Ⅱ）过原点O作直线l（异于1l，2l）与21,EE分别交于21,CC两点。记111CBA与222CBA的面积分别为1S与2S,求21SS的值。20．(本题满分13分)如图，四棱柱1111DCBAABCD中，AA1底面ABCD.四边形ABCD为梯形，BCAD//,且BCAD2.过DCA,,1三点的平面记为，1BB与的交点为Q。（Ⅰ）证明：Q为1BB的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA14，2CD，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角大小。21．（本小题满分13分）设实数0c，整数1p，*Nn。（I）证明：当1x且0x时，pxxp1)1(；（II）数列na满足pca11，pnnnapcappa111，证明：pnncaa11。参考答案1．答案：C，解析：1(1)(1)(1)2ziiziiiiii2．答案：B，解析：ln(1)001110xxx，所以“0x”是“0)1ln(x”的必要而不充分条件。3．答案：B，解析：5550，故运算7次后输出的结果为55。4．答案：D，解析：将直线l方程化为一般式为：40xy，圆C的标准方程为：22(2)4xy，圆C到直线l的距离为：|24|22d∴弦长22222LRd。5．答案：D，解析：画出约束条件表示的平面区域如右图，axyz取得最大值表示直线axyz向上平移移动最大，a表示直线斜率，有两种情况：1a或2a。6．答案：A，解析：231717()()sin666111117()sinsin666551117()sinsinsin6666111102222ffff7．答案：A，解析：如右图，将边长为2的正方体截去两个角，∴213226112(2)21324S表8．答案：C，解析：与正方体一条对角线成060的对角线有4条，∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有41248（对）。9．答案：D，解析：x1123581321y12358132134z235813213455（1）当2a时，12a，此时31,11,1()2312xaxaxaxfxaxax；（2）当2a时，12a，此时31,2()1,12311axaxfxaxaxxax在两种情况下，min()()|1|322aafxf，解得4a或8a。注：此题也可以由绝对值的几何意义得min()|1|32afx，从而得4a或8a。10．答案：A，解析：设(1,0),(0,1)ab则(cos,sin)OP，(2,2)OQ所以曲线C是单位元，区域为圆环（如右图）∵||2OQ，∴13rR。11．答案：38，解析：()sin[2()]sin(22)44fxxx∴2,()42kkZ，∴,()82kkZ，当1k时min38。12．答案：1q，解析：∵{}na是等差数列且1351,3,5aaa构成公比为q的等比数列，∴2111(1)(45)(23)aadad即2111(1)[(1)4(1)[(1)2(1)]aadad令11,1axdy，则有2(4)(2)xxyxy，展开的0y，即10d，∴1q。13．答案：3a，解析：由图易知0121,3,4aaa∴122113,()4nnCCaa，∴23(1)42nanna，解得3a。14．答案：22312xy，解析：由题意得通径22AFb，∴点B坐标为251(,)33cBb将点B坐标带入椭圆方程得22221()53()13bcb，又221bc，解得222313bc∴椭圆方程为22312xy。15．答案：②④，解析：S有下列三种情况：222222222123,,SaabbbSaababbbSababababb∵222212232()||0SSSSabababab，∴min3SS，若ab，则2min3SSb，与||a无关，②正确；若ab，则2min34SSabb，与||b有关，③错误；若||4||ba，则2222min34||||cos||4||||||||||0SSabbabbbb，④正确；若2min||2||,8||baSa，则2222min348||cos4||8||SSabbaaa∴1cos2，∴3，⑤错误。16．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）∵2AB，∴sinsin22sincosABBB，由正弦定理得22222acbabac∵3,1bc，∴212,23aa。（Ⅱ）由余弦定理得22291121cos263bcaAbc，由于0A，∴22122sin1cos1()33AA，故2221242sin()sincoscossin()44432326AAA。17．（本小题满分12分）解析：用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，kA表示“第k局甲获胜”，kB表示“第k局乙获胜”，则21(),(),1,2,3,4,533kkPAPBk（Ⅰ）121231234()()()()PAPAAPBAAPABAA12123123