2014年高考北京市数学（理）卷（有答案）

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}AxxxB，则AB().{0}A.{0,1}B.{0,2}C.{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)上为增函学科网数的是（）.1Ayx2.(1)Byx.2xCy0.5.log(1)Dyx3.曲线1cos2sinxy（为参数）的对称中心（）.A在直线2yx上.B在直线2yx上.C在直线1yx上.D在直线1yx上4.当7,3mn时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）.7A.42B.210C.840D5.设{}na是公比为q的等比数列，则1q是{}na为递增数列的（）.A充分且不必要条件.B必要且不充分条件.C充分必要条件.D既不充分也不必要条件6.若,xy满足20200xykxyy且zyx的学科网最小值为-4，则k的值为（）.2A.2B1.2C1.2D7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知2,0,0A，2,2,0B，0,2,0C，1,1,2D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标学科网平面上的正投影图形的面积，则（）（A）123SSS（B）12SS且31SS（C）13SS且32SS（D）23SS且13SS8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A）2（B）3（C）4（D）5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211ii________.10.已知向量a、b满足1a，2,1b，且0abR，则________.11.设双曲线C经过点2,2，且与2214yx具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________.12.若等差数列na满足7890aaa，7100aa，则当n________时na的前n项和最大.13.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_______种.14.设函数)sin()(xxf，0,0A，若)(xf在学科网区间]2,6[上具有单调性，且6322fff，则)(xf的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15.（本小题13分）如图，在ABC中，8,3ABB，点D在BC边上，且71cos,2ADCCD（1）求BADsin（2）求ACBD,的长16.（本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较)(XE与x的大小学科网（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，CB,分别为MDAM,的中点，在五棱锥ABCDEP中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PCPD,分别交于点HG,.（1）求证：FGAB//；（2）若PA底面ABCDE，且PEAF，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.18.（本小题13分）已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx，（1）求证：()0fx；（2）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的学科网最大值与b的最小值.19.（本小题14分）已知椭圆22:24Cxy，（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y上，且OAOB，求直线AB与圆222xy的位置关系，并证明学科网你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)nnPababab，记111()TPab，112()max{(),}(2)kkkkTPbTPaaakn，其中112max{(),}kkTPaaa表示1()kTP和12kaaa两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)PP，求12(),()TPTP的值.（2）记m为,,,abcd四个数中最小值，学科网对于由两个数对(,),(,)abcd组成的数对序列(,),(,)Pabcd和'(,),(,)Pabcd，试分别对ma和md的两种情况比较2()TP和2(')TP的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组学科网成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使5()TP最小，并写出5()TP的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）5（11）221312xy2yx（12）8（13）36（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在ADC中，因为17COSADC，所以43sin7ADC。所以sinsin()BADADCBsincoscossinADCBADCB。（Ⅱ）在ABD中，由正弦定理得338sin143sin437ABBADBDADB，在ABC中，由余弦定理得2222cosACABBCABBCB22185285492所以7AC（16）所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。则C=ABAB，A,B独立。根据投篮统计数据，32(),()55PAPB.()()()PCPABPAB332255551325所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.（Ⅲ）EXx.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE。又因为AB平面PDE，所以AB∥平面PDE，因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDFFG，所以AB∥FG。（Ⅱ）因为PA底面ABCDE,所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(1,0,0)B,(2,1,0)C,(0,0,2)P,(0,1,1)F,BC(1,1,0).设平面ABF的法向量为(,,)nxyz，则0,0,nABnAF即0,0.xyz令1,z，则1y。所以(0,1,1)n，设直线BC与平面ABF所成角为a,则1sincos,2nBCanBCnBC。设点H的坐标为(,,).uvw。因为点H在棱PC上，所以可设(01),PHPC，即(,,2)(2,1,2).uvw。所以2,,22uvw。因为n是平面ABF的法向量，所以0nAB，即(0,1,1)(2,,22)0。解得23，所以点H的坐标为422(,,).333。所以222424()()()2333PH（18）（共13分）解：（I）由()cossinfxxxx得'()cossincossinfxxxxxxx。因为在区间(0,)2上'()fxsin0xx，所以()fx在区间0,2上单调递减。从而()fx(0)0f。（Ⅱ）当0x时，“sinxax”等价于“sin0xax”“sinxbx”等价于“sin0xbx”。令()gxsinxcx，则'()gxcosxc，当0c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立。当1c时，因为对任意(0,)2x，'()gxcosxc0，所以()gx在区间0,2上单调递减。从而()gx(0)0g对任意(0,)2x恒成立。当01c时，存在唯一的0(0,)2x使得0'()gx0cosxc0。()gx与'()gx在区间(0,)2上的情况如下：x0(0,)x0x0(,)2x'()gx→0→()gx↗↘因为()gx在区间00,x上是增函数，所以0()(0)0gxg。进一步，“()0gx对任意(0,)2x恒成立”当且仅当()1022gc，即20c，综上所述，当且仅当2c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立；当且仅当1c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立。所以，若sinxabx对任意(0,)2x恒成立，则a最大值为2，b的最小值为1.（19）解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy。所以224,2ab，从而2222cab。因此2,2ac。故椭圆C的离心率22cea。（Ⅱ）直线AB与圆222xy相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为00(,)xy，(,2)t，其中00x。因为OAOB，所以0OAOB，即0020txy，解得002ytx。当0xt时，202ty，代入椭圆C的方程，得2t，故直线AB的方程为2x。圆心O到直线AB的距离2d。此时直线AB与圆222xy相切。当0xt时，直线AB的方程为0022()yyxtxt，即0000(2)()20yxxtyxty，圆心0到直线AB的距离0022002(2)()xtydyxt又220024xy，002ytx故2000222000202244yxxdyxyx00420020428162xxxxx此时直线AB与圆222xy相切。（20）解：（I）1()257TP11()1max(),24TPTP1max7,6=8（Ⅱ）2()TPmax,abdacd2(')TPmax,cdbcab.当m=a时，2(')TP=max,cdbcab=cdb因为cdbcbd，且acdcbd，所以2()TP≤2(')TP当m=d时，2(')TPmax,cdbcabcab因为abd≤cab，且acdcab所以2()TP≤2(')TP。所以无论m=a还是m=d，2()TP≤2(')TP都成立。（Ⅲ）数对序列:P（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的5()TP值最小，1()TP=10，2()TP=26，3()TP=42，4()TP=50，5()TP=52