2014年高考湖南省数学（理）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．满足(ziiiz为虚数单位）的复数zA．1122iB．1122iC．1122iD．1122i2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，学科网当选取简单随机抽样、xkb1系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,ppp则A．123pppB．231pppC．132pppD．123ppp3．已知(),()fxgx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且32()()1,fxgxxx(1)(1)fg则＝A．－3B．－1C．1D．34．51(2)2xy的展开式中23xy的系数是xkb1A．－20B．－5C．5D．205．已知命题22:,;:,.pxyxyqxyxy若则命题若则在命题①pq②pq③()pq④()pq中，真命题是A．①③B．①④C．②③D．②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t，则输出的S属于A．[6,2]B．[5,1]C．[4,5]D．[3,6]7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A．1B．2C．3D．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A．2pqB．(1)(1)12pqC．pqD．(1)(1)1pq9．已知函数230()sin(),()0,fxxfxdx且则函数()fx的图象的一条对称轴是A．56xB．712xC．3xD．6x10．已知函数xkb1221()(0)()ln()2xfxxexgxxxa与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是A．1(,)eB．(,)eC．1(,)eeD．1(,)ee二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，学科网如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线l与曲线2cos:,(1sinxCy为参数）交于AB，两点，则AB｜｜＝2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是12．如图3，已知,ABBC是O的两条弦，,3,22,AOBCABBC则O的半径等于13．若关于x的不等式|2|3ax的解集为51{|}33xx，则a（二）必做题（14－16题）14．若变量,xy满足约束条件4yxxyyk，且2zxy的最小值为－6，则k15．如图4，正方形ABCDDEFG和正方形的边长分别为,()abab，原点O为AD的中点，抛物线22(0)ypxp经过,bCFa两点，则16．在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(0,3),(3,0),ABC动点D满足||1,CDOAOBOD则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立．（I）求至少有一种新产品研发成功的概率；（II）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图5，在平面四边形ABCD中，127.ADCDAC＝，＝，＝（I）求cosCAD的值；（II）若721cos,sin,146BADCBA求xkb1BC的长．19．（本小题满分12分）如图6，四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，11111,,ACBDOACBDO四边形1111ACCABDDB和四边形均为矩形．（I）证明：1;OOABCD底面（II）若1160,CBACOBD求二面角的余弦值．20．（本小题满分13分）已知数列{na}满足*111,||,.nnnaaapnN（I）若{na}是递增数列，且12,3,23aaa成等差数列，求p的值；（II）若12p，且{21na}是递增数列，{2na}学科网是递减数列，xkb1求数列{na}的通项公式．21．（本小题满分13分）如图7，O为坐标原点，椭圆22122:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，离心率为1e；双曲线22222:1xyCab的左、右焦点分别为34,FF，离心率为2e．已知123,2ee且24||31.FF（I）求12,CC的方程；（II）过1F作1C的不垂直于y轴的弦AB的中点．当直线OM与2C交于,PQ两点时，求四边形APBQ面积的最小值．22．（本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xafxaxx函数（I）讨论()fx在区间(0,)上的单调性；（II）若()fx存在学科网两个极值点12,,xx且12()()0,fxfx求a的xkb1取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案一、选择题1、B2、D3、C4、A5、C6、D7、B8、D9、A10、B二、填空题11、(cossin)1p12、3213、314、215、1216、17三、解答题17、（本小题满分12份）解：（I）记E=｛甲组研发新产品成功｝，F=｛乙组研发新产品成功｝.由题设知2132(),(),(),(),3355PEPEPFPF故所求的概率为（Ⅱ）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0，100,120,220.因122(0)()3515PXPEF,133(100)()3515PXPEF224(120)()3515PXPEF,235(220)()3515PXPEF,故所求的分布为数学期望为2()015EX+310015+412015+622015=30048013202100140151518、（本小题满分12份）解：（I）如图5，在ADC中，由余弦定理，得222cos.2ACADCDCADACAD故由题设知，71427cos.727CAD227321sin11().1414BADCOSBAD于是sinx=sin()BADCAD=sincoscossinBADCADBADCAD=32127721()147147=3.2在ABC中，由正弦定理，BC=37sin23sin216ACaCBA19、（本小题满分12份）解：（I）如图（a），因为四边形11ACCA为矩形，所以1CCAC.同理1DDBD。因为1CC∥1DD，所以1CCBD。而0ACBD，因此1CC底面ABCD。由题设知，1OO∥1CC。故1OO底面ABCD。（Ⅱ）解法I如图（a），过1O作11OHOB于H，连接1HC.由（I）知，1OO底面ABCD，所以1OO底面1111ABCD，于是1OO11AC.又因为四棱柱ABCD-1111ABCD的所有棱长都相等，所以四边形1111ABCD是菱形，因此1111ACBD，从而1111ACBDDB平面，所以111ACOB，于是111OBOHC平面，进而11OBCH。故11CHO是二面角11COBD的平面角。不妨设AB=2。因为60OCBA，所以3OB，117OC，OB。在11tROOB中，易知11111327OOOBOHOB。而111OC，于是。故111132257719197OHCOSCHOCH。即二面角11COBD的余弦值为25719。解法2因为四棱柱ABCD-1111ABCD的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD。又1OO底面ABCD，从而OB，OC,1OO两两垂直。如图（b），以O为坐标原点，OB,OC,1OO所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。不妨设AB=2.因为60OCBA，所以3OB，1OC，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)，1(3,0,2)B，1(0,1,2)C.易知，1(0,1,0)n是平面11BDDB的一个法向量。设2(,,)nxyz是平面11OBC的一个法向量，则21210,0,nOBnOC即320,20.xzyz取3z，则2,23xy，所以2(2,23,3)n。设二面角11COBD的大小为，易知是锐角，于是12,COSCOSnn12122319nnnn25719。故二面角11COBD的余弦值为2571920、（本小题满分13份）解（I）因为na是递增数列，所以11nnnnnaaaap。而11a，因此又123,2,3aaa成等差数列，解得1,03pp当0p时，1nnaa，这与na是递增数列矛盾。故13p.（Ⅱ）由于21na是递增数列，因而21210nnaa，于是但2211122nn，所以212221aaaannnn.②又①，②知，2210nnaa，因此222121211(1)()22nnnnnaa③因为2na是递减数列，同理可得，2120nnaa故22121221(1)22nnnnnaa④由③，④即知，11(1)2nnnnaa。于是121321()()...()nnnaaaaaaaa2111(1)1...222nn111()1211212n141(1)332nn.故数列na的通项公式为141(1)332nnna21、（本小题满分13份）解（I）因为123,2ee，所以222232ababaa，即44434aba，因此222ab，从而24(,0),(3,0)FbFb，于是24331bbFF，所以1b，22a。故12,CC的方程分别为2212xy，2212xy.（Ⅱ）因AB不垂直于y轴，且过点1(1,0)F,故可设直线AB的方程为1xmy.由221,12xmyxy得22(2)210mymy易知此方程的判别式大于0.设1122(,),(,)AxyBxy，则12,yy是上述方程的两个实根，所以因此121224()22xxmyym，于是AB的中点为222(,)22mMmm，故直线PQ的斜率为2m，PQ的方程为2myx，即20mxy。由22,212myxxy得22(2)4mx，所以220m，且2242xm，2222mym，从而22224222mPQxym。设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以112222224mxymxydm。因为点A、B在直线20mxy的异侧，所以1122(2)(2)0mxymxy，于是112211222222mxymxymxymxy，从而2122(2)24myydm又因为221212122221()42myyyyyym，所以2222124mdm。故四边形APBQ的面积222122132221222mSPQdmm.而2022m，故当0m时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.22．（本小题满分13份）