2014年内蒙古自治区高二数学联赛预赛试卷

2014年内蒙古自治区高中数学联赛预赛试卷说明：以下解答由笔者给出，如有纰漏，敬请指正.一、填空题（8×8分）1．若过点(1,3)P作圆229xy的切线，则两切点所在的直线方程为_________________;解：显然点(1,3)P在圆229xy外，两切点所在的直线方程为39xy.2．已知21()532fxxx，则()fx的值域为_________________;解：令1tan,,222x，则53sin2ycos，即3sin2cos5y,25sin192y，解得28y，显然0y，即()fx的值域为22,3．七个正数组成等比数列127,,,aaa，其前五项和为62726，后五项和为12142，则这七项之积为_________________;解：由题意知公比0q，1234562672726aaaaa，345672672aaaaa，所以22q1112247326722732aqqa，即12a，所以2872114127122aaaaq4．有一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为2,现用一张正方形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为_______________;解:我们将正四棱锥展成平面图形如图所示:则包装纸的最小边长应为2222222cos150265．从正方体的8个顶点中的任意两个所确定的所有直线中取出两条,则这两条直线是异面直线的概率是______________;解:我们知道,正方体8个顶点确定不同的四面体的个数是4812C,每个四面体的4条棱组成3对异面直线,正方体的8个顶点中的任意两个所确定的直线条数是2828C.所求事件的概率是482283122963CpC6.设,,abc是非负实数,则cababcc的最小值为_________________;解:31312cabcabccabcabccabccabcc当且仅当cababcc时,等号成立.7．已知是锐角，则1111sinsco的最小值为_________________;解:111sincos111sinssincosco设sincos2sin1,24t,则2211322121yt8．已知,,2,1,0axbycxyRabcacbc，则ab的取值范围是_______________.解：不妨设2,2cossinabi，cossinci∵0ackbcik，HGFECDBA∴2cossin2coscos2sinsinikii2cossin2sinsin2coscosikki∴2cos2sinsin,sin2coscoskk消去得222111sincos14kk，即313sin84kk当且仅当1k时，等号成立2221cos2sin221cosab考虑到图形的对称性，令0,，得2297cos1sin11616即77cos,44，221cos827,827∴71,71ab二、解答题（本大题56分）9．(16分)已知12,0,,0FcFc分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点,过点1F作x轴的垂线交椭圆C的上半部分交于点P,过点2F作直线2PF的垂线交直线2axc于点Q.(Ⅰ)如果点Q(4,4),求此时的椭圆C的方程;(Ⅱ)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.（Ⅰ）解：易得2,bPca，22222,4,42440bbPFQFccccaa又24ac，222abc，求得2,3ab，所以椭圆22:143xyC（Ⅱ）证明：直线2QF的方程：22cayxcb，求得2,2aQac直线PQ的方程2222babayxcaacc，化简得20cxaya代入2222:10xyCabab，得2220xcxc，得唯一交点2,bPca.10．（20分）设数列na的前项和为nS，已知2112121,33nnSaannnNn.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有1211174naaa.(Ⅰ)解:1111,1226nnnaSannnnN①∴111111226nnnSannnn∴111(1)222nnnnnnnnnaSSaa②即11(1)nnnanann,从而111nnaann(,2)nNn当1n时,由②式得12112aa,∵11a,∴24a由①式得121123,26aa∵11a,∴24a,从而111nnaann对任意nN都成立.所以nan是以1为首项,1为公差的等差数列,即nann,所以数列na的通项公式2nan.(Ⅱ)证:2222121111111111112322334(1)naaannn511111171742334144nnn11.（20分）设352x，求证：2123153214219270xxxx证明：依柯西不等式得21231532222315321114xxxxxxx等号成立的充要条件是2223153211xxx,而上面的方程无实数解∴212315322223153214xxxxxxx∴2123153214214214xxxxxx∵352x,∴214214219270xx所以2123153214219270xxxx