2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,xy为整数，且满足22441111211()()()3xyxyxy，则xy的可能的值有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个2．已知非负实数,,xyz满足1xyz，则22txyyzzx的最大值为（A）A．47B．59C．916D．12253．在△ABC中，ABAC，D为BC的中点，BEAC于E，交AD于P，已知3BP，1PE，则AE＝（B）A．62B．2C．3D．64．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（B）A．12B．25C．23D．345．设[]t表示不超过实数t的最大整数，令{}[]ttt.已知实数x满足33118xx，则1{}{}xx（D）A．12B．35C．1(35)2D．16．在△ABC中，90C，60A，1AC，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形,90ADE,则BE的长为（A）A．423B．23C．1(31)2D．31二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足1abc，1111abcbcacab，则abc__0__．2．使得不等式981715nnk对唯一的整数k成立的最大正整数n为144．3．已知P为等腰△ABC内一点，ABBC，108BPC，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则PAC48．4．已知正整数,,abc满足:1abc，111abc，2bac，则b36．第二试（A）一、（本题满分20分）设实数,ab满足22(1)(2)40abbba，(1)8abb，求2211ab的值．解由已知条件可得222()40abab，()8abab.设abx，aby，则有2240xy，8xy，……………………5分联立解得(,)(2,6)xy或(,)(6,2)xy.……………………10分若(,)(2,6)xy，即2ab，6ab，则,ab是一元二次方程2260tt的两根，但这个方程的判别式2(2)24200，没有实数根；……………………15分若(,)(6,2)xy，即6ab，2ab，则,ab是一元二次方程2620tt的两根，这个方程的判别式2(6)8280，它有实数根.所以2222222222211()262282abababababab.……………………20分二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足ECDACB,AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.证明：DFEAFB．证明由ABCD是平行四边形及已知条件知ECDACBDAF.……………………5分又A、B、F、D四点共圆，所以BDCABDAFD，所以△ECD∽△DAF，……………………15分所以EDCDABDFAFAF.……………………20分又EDFBDFBAF，所以△EDF∽△BAF，故DFEAFB.……………………25分三．（本题满分25分）设n是整数，如果存在整数,,xyz满足3333nxyzxyz，则称n具有性质P.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由.解取1x，0yz，可得33311003100，所以1具有性质P.取2xy，1z，可得33352213221，所以5具有性质P.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质P，记333(,,)3fxyzxyzxyz，则33(,,)()3()3fxyzxyzxyxyxyzFCABDE3()3()()3()xyzxyzxyzxyxyz＝3()3()()xyzxyzxyyzzx2221()()2xyzxyzxyyzzx2221()[()()()]2xyzxyyzzx.即(,,)fxyz2221()[()()()]2xyzxyyzzx①……………………10分不妨设xyz，如果1,0,1xyyzxz，即1,xzyz，则有(,,)31fxyzz；如果0,1,1xyyzxz，即1xyz，则有(,,)32fxyzz；如果1,1,2xyyzxz，即2,1xzyz，则有(,,)9(1)fxyzz；由此可知，形如31k或32k或9k（k为整数）的数都具有性质P.因此，1，5和2014都具有性质P.……………………20分若2013具有性质P，则存在整数,,xyz使得32013()3()()xyzxyzxyyzzx.注意到3|2013，从而可得33|()xyz，故3|()xyz，于是有39|()3()()xyzxyzxyyzzx，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P.……………………25分第二试（B）一．（本题满分20分）同（A）卷第一题.二．（本题满分25分）如图，已知O为△ABC的外心，ABAC，D为△OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.若7BD，3DC，求AH.解延长BD交⊙O于点N，延长OD交⊙O于点E，由题意得NDEODBOCBOBCCDE，所以DE为BDC的平分线.……………………5分又点D在⊙O的半径OE上，点C、N在⊙O上，所以点C、N关于直线OE对称，DNDC.……………………10分延长AH交⊙O于点M，因为O为圆心，AMOD，所以点A、M关于直线OD对称，AHMH.因此MNACAB.……………………15分又FNMFAB，FBAFMN，所以△ABF≌△NMF，所以MFBF，FNAF.……………………20分因此，AMAFFMFNBFBNBDDNBDDC7310，即210AH，所以5AH.……………………25分FMHENAOBCD三．（本题满分25分）设n是整数，如果存在整数,,xyz满足3333nxyzxyz，则称n具有性质P.（1）试判断1，2，3是否具有性质P；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？解取1x，0yz，可得33311003100，所以1具有性质P；取1xy，0z，可得33321103110，所以2具有性质P；…………………5分若3具有性质P，则存在整数,,xyz使得33()3()()xyzxyzxyyzzx，从而可得33|()xyz，故3|()xyz，于是有39|()3()()xyzxyzxyyzzx，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P.……………………10分（2）记333(,,)3fxyzxyzxyz，则33(,,)()3()3fxyzxyzxyxyxyz3()3()()3()xyzxyzxyzxyxyz＝3()3()()xyzxyzxyyzzx2221()()2xyzxyzxyyzzx2221()[()()()]2xyzxyyzzx.即(,,)fxyz2221()[()()()]2xyzxyyzzx①……………………15分不妨设xyz，如果1,0,1xyyzxz，即1,xzyz，则有(,,)31fxyzz；如果0,1,1xyyzxz，即1xyz，则有(,,)32fxyzz；如果1,1,2xyyzxz，即2,1xzyz，则有(,,)9(1)fxyzz；由此可知，形如31k或32k或9k（k为整数）的数都具有性质P.……………………20分又若33|(,,)()3()()fxyzxyzxyzxyyzzx，则33|()xyz，从而3|()xyz，进而可知39|(,,)()3()()fxyzxyzxyzxyyzzx.综合可知：当且仅当93nk或96nk（k为整数）时，整数n不具有性质P.又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数共有224×2＝448个.……………………25分