中学奥数试题

熟练活用几种重要方法1.探索法2.构造法3.数形结合法4.设想法5.面积法6.反证法7.配方法8.替换法9.奇偶分析法10.分类讨论法11.枚举法12.待定系数法13.抽屉原理14.极端原理用上述方法解决几类题型思路1.整数问题的求解思路2.代数式问题的求解思路3.不等式问题的求解思路4.方程问题的求解思路5.方程整数根问题的求解思路6.函数问题的求解思路7.最值问题的求解思路8.三角形问题的求解思路9.四边形问题的求解思路10.与圆有关的问题的求解思路11.应用性问题的求解思路12.统计初步问题的求解思路13.取整函数问题的求解思路14.逻辑推理问题的求解思路几种妙解技能1.运算性技能2.操作性技能第一章探索法1111．探索常从熟悉的地方开始例1111．+++++=1请找出6个不同的自然数，分别填入6个方框中，使这个等式成立．解首先注意到一个熟悉的等式=+得=+推得=+这表明每一个分子为1的分数（或单位分数）都可以写成两个单位分数之和．又由熟悉的式子：1=+取n=2，可得1=++取n=3，可得1=+++取n=4，可得1=++++再取n=6，可得1=+++++注(1)由于问题要求填入的自然数互不相同，所以最后一步不取n-5，否则将产生1213161212+112(2+1)1n1n+11n(n+1)1212121316121416112121516112120121517112120142111111而1/6已经出现在最后一项．(2)从上面的解法不难看出答案不是惟一的．例如最后一步取刀＝12，便得1=+++++2222．探索常从简单的情形入手例2.2.2.2.以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”＝3，那么被乘数是_______.神舟五号飞天×神____________________飞天神舟五号解填307692．理由：首先把“神舟五号飞天”短语看成简单一点的两个词组组成，将问题简单化．设“神舟五号”=A，“飞天”=B，则3×(100A+B)=10000B+A，即300A+3B=10000B+A，299A=9997B，亦即23A=769B．而23和769互质，故B=23n，A=769n，n是自然数，2≤n≤4．但A的首位数字为3，只可能n=4，从而A=3076,B=92．例3.3.3.3.如图，ABCD是一个边长为l的正方形．U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于Q.求四边形PUQV面积的最大值。解把不规则的四边形PUQV分割为两个三角形，三角形是最简单的多边形，容易计算面积．接UV，因AU//DV，则161301215161131201156作PE⊥AD，QF⊥BC，E、F为垂足，并设PE=x，QF=y．则等号当且仅当a=6时成立．3333．探索可从改变问题的表述形式考虑例4.4.4.4.已知存在整数N，能使数被1987整除．求证：数都能被1987整除．解改变问题表述形式，有被1987整除，所以p被1987整除，注意到因而也均被1987整除．而改变问题表述形式，有括号中的数等于于是括号中的数能被1987整除，q也能被1987整除．4444．探索可从对称角度思考例5.5.5.5.如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE=2，点P在BD上移动，则PE+PC的最小值是多少？分析要求PE+PC的最小值，可通过对称变换，将PE变位后求解解作E点关于直线BD的对称点E1，则E1在AB上，且BE1=2，PE1=PE，又PE+PC=PE1+PC≥E1C(当E1、P、C三点共线时取等号），所以PE+PC的最小值为5555．探索可从减小目标差着手步步紧逼目标，即称为减小目标差例6.6.6.6.解选A．理由：由等比式能否找到x、y之间的简单关系式，以便化简求值式？为此须对等比式变形，以便运用等比定理后分子、分母能合并化简．由已知条件知x≠0，y≠0．把已知等式解方程，得x²=3y(6x-15y)3y²=x(2x-5y)则x=3y．例7.7.7.7.正整数n小于100，并且满足等式其中[x]表示不超过x的最大整数．这样的正整数n的个数为()．A．2B．3C．12D．16