中南大学2009年度数学竞赛试题

2009年度中南大学数学竞赛试题（注：此页不做答题纸，请将答案写在答题纸上）一、选择题（4′×4=16′）1.设函数20)2ln()(xdttxf，则)(xf的零点个数为（）(A)0(B)1(C)2(D)32.设)(xf为连续函数，dxxfdytFtyt)()(1，则)2(F等于（）(A))2(2f(B))2(f(C))2(f(D)03.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若03A，则（）(A)E-A不可逆，E+A不可逆(B)E-A不可逆，E+A可逆(C)E-A可逆，E+A可逆(D)E-A可逆，E+A不可逆4.设随机变量X的分布函数为)21(7.0)(3.0)(xxxF，其中)(x为标准正态分布的分布函数，则E(X)=（）(A)0(B)1(C)0.3(D)0.7二、填空题（4′×4=16′）1.设函数),(vuf具有二阶连续偏导数，),(xyxfz，则yxz2_________;2.已知曲线L：)20(2xxy，则Lxds_________;3.若3维列向量,满足2T，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为_________;4.设nXXX,...,,21为来自二项分布总体),(pnB的简单随机样本，X和2S分别为样本的均值和样本方差，若2kSX为2np的无偏估计，则k_________;三、（本题8分）函数)(xf在点0x处可导，}{n，}{n为趋近于零的正数数列，求nnnnnxfxf)()(lim00。四、（本题8分）设椭球面1S是椭圆13422yx绕x轴旋转而成，圆锥面2S是由过点(4,0)且与椭圆13422yx相切的直线绕x轴旋转而成。（1）求1S及2S的方程；（2）求1S与2S之间的立体体积。五、（本题8分）计算曲面积分2/3222)(zyxzdxdyydzdxxdydzI，其中是曲面422222zyx的外侧。六、（本题8分）将)0(1)(2xxxf展开成余弦级数，并求级数121)1(nnn的和。七、（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为oxy坐标面，其底部所占的区域为}75|),{(22yxyxyxD，小山的高度函数为2275),(yxyxyxh。（1）设),(00yxM为区域D上一点，问),(yxh在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00yxg，试写出),(00yxg的表达式。（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，即要在D的边界线7522yxyx上找出使得(1)中的),(yxg达到最大的点，试确定攀登起点的位置。八、（本题8分）设是实数，)(A是函数)1(x在0x处幂级数展开式中2009x的系数。（1）写出)(A的表达式；（2）求积分10200911)1(kdykyyA的值。九、（本题10分）已知级数方程0))((32yexyy（其中)(xyy）。若视x为y的函数，证明：yyyeececx22131，其中21,cc为任意常数。十、（本题10分）设n阶实对称矩阵A的全部特征值按大小顺序排成：n...21，证明：对于nR中任一向量0，都有12||ATn。