2015年11月CAP物理力学考试参考答案

2015年全国CAP考试力学试卷（A）答案一、（10分）如题一图所示，长L质量m的匀质细棒可绕过其一端O的水平轴无摩擦转动。初始时棒在水平位置，自由下落转动到竖直位置。试求：（1）细棒在竖直位置时的角速度；（2）在竖直位置的细棒下端与放置在水平光滑桌面上的质量为m/3的滑块相碰，若碰后细棒静止，则滑块的速度是多少。解：（1）机械能守恒：22111232mLmgL解得：3gL（2）角动量守恒：21133mLmL解得：3Lg题一图二、（10分）在离地面6000m的高空大气层中，产生一个能量约为E=3000MeV快速运动的介子。若介子静止时的能量E0=100MeV，固有寿命s10260，试求：（1）介子的动能和运动速度；（2）判断这个介子能否运动到地面解：（1）220221mcEmcuc解得：02900MeVkEEE18sm10996.2u（2）相对地面上观察者：介子的寿命：0022301uc运动距离：6000mm10798.14us地球结论：介子可以到达地面。三、（10分）一质量为m的跳伞运动员从足够高的空中落下（将运动员视为质点，设初始速度为零并开始计时），假设运动员在下落过程中所受的空气阻力与速度成正比，方向与速度方向相反（即kvf，其中k为常数；v为运动员的速率）。试求：（1）运动员的下落速度与时间的关系（2）运动员的下落极限速度（收尾速度）解：建立向下为正方向的一维坐标系，运动员所满足的动力学方程：mamgkv整理：dvkvagdtm积分：dvdtkvgm整理：ln()mkvgtAkm解得：ktmmgvAek初始条件：00.tv时，解得：mgAk运动员的下落速度与时间的关系：(1)ktmmgvek.t对应运动员的落地速度（收尾速度）：mgvk四、（10分）一质量为m的小虫，相对以角速度转动的、半径为R的圆盘，向外以匀加速度a爬行。如它能够爬到盘边，问小虫与圆盘间的静摩擦系数至少要多少？（设初始时小虫静止在盘心，忽略空气阻力）解：以圆盘为参考系（匀角速转动的非惯性系），小虫所受的作用力如下：静摩擦力：fF惯性离心力：2rFmre离＝科氏力：vmF2＝科；22var小虫的动力学方程：径向方向：-fFFma离con＝横向方向：sinfFF科＝联合上述方程整理得：42226fFmraar当Rr时，静摩擦力达到最大，此时应有，mgaRaRmFf≤6++=2224大最因此，最小静摩擦系数为：gaRaR22246++=五、（10）如题五图所示，一圆柱体沿倾角为的斜面滚下，圆柱体与斜面之间的摩擦系数为。为使圆柱体沿斜面做纯滚动，试求的最大值。解：建立沿斜面向下和垂直斜面向上为平动的正方向，垂直纸面向里为转动的正方向。以圆柱体为研究对象。质心运动定理：cos0Nmgsincmgfma相对质心转动定律：212frmr由纯滚动约束条件：0car联立解得可得：2sin3cag；sin31sinmgmamgfc斜面提供的摩擦力：cosfmg解得：3tan1max题五图六、（15分）从地面发射质量为m的火箭（包括燃料），其喷射的燃料气体相对火箭的速度为rv，经过时间0t后，燃料全部喷射完，此时火箭正好获得逃逸速度。设在燃料喷射过程中重力加速度g为恒量。求空火箭的质量0m。解：以地球为参考系，以火箭和剩余燃料的整体作为研究对象，设竖直向上为正方向，火箭的逃逸速度为2v。运用变质量运动方程：()()()rdmtdvmtgvmtdtdt解得：ln()rmvgtvmt0tt时，0()mtm，200lnrmvvgtvm火箭的逃逸速度：202vgR其中0R为地球半径。联立可得：00(2)0rgRgtvmme。七、（15分）如题七图所示，由一长为L、质量为m的杆和一质量为M、半径为R的匀质圆盘组成的复摆。求此复摆在以下两种情况下小角度摆动的振动周期。（1）圆盘与杆固连；（2）圆盘与杆之间由一光滑轴相连，故圆盘可绕此轴自由旋转。解：从平衡位置向右增加的方向为正，转动方向向外为正。当圆盘与杆固连时，杆与圆盘一起绕轴做定轴转动；当圆盘与杆光滑连接时，杆及圆盘质心一起绕轴做定轴转动。此时，可将圆盘的质量集中圆盘的质心，等效成杆m与一端固连一质点M的系统，该系统做定轴转动。二者遵循相同的规律，只是转动惯量的不同转动定律：sinsin2lmgMglJ利用近似条件：sin解得：20lmgMglJ振动圆频率：2lmgMglJ振动周期：2T（1）当圆盘与杆固连时，2221132JmlMRMl解得:2222(3)323(2)MmlMRTMmgl（2）当圆盘与杆光滑连接时，2213JmlMl解得：22(3)23(2)MmlTMmg题七图八、（20分）定性简述如下问题：1.（5分）力学的知识逻辑体系力学的知识体系由质点基本运动规律、导出规律、解决实际问题三大模块组成。其中，质点基本运动规律包括质点运动学和质点动力学，质点动力学包括惯性下质点动力学和非惯性下质点动力学。导出规律包括动量定理、功能原理、角动量定理，这些定理在特殊条件下就转化成为动量守恒、机械能守恒、角动量守恒等守恒定律。质点的基本运动规律和导出规律构成了力学的理论基础，用以解决特殊的质点组（刚体、流体）和普遍运动形式（振动、波动）等实际问题。2.（3分）引入惯性力的背景及物理实质牛顿第二定律是惯性参考系下的实验总结规律。对于非惯性参考系，牛顿第二定律并不成立。为了借助惯性参考系的牛顿第二定律寻求非惯性下的质点动力学方程，人们发现需要引入虚拟的力，即惯性力。所引入的惯性力表达形式与非惯性参考系的种类有关。惯性力的物理本质是由等效原理给出的等效引力。3.（3分）什么是保守力和非保守力保守力与非保守力是指质点组的内力而言的。一对内力做功之和与路径无关的内力称为保守力，而与做功路径有关的称为非保守力4.（3分）一对内力做功之和的显著特点一个力的功大小是与参考系选取有关的，而一对内力做功之和与参考系选取无关5.（3分）处理刚体平面平行运动的方法刚体的平面平行运动可看成是质心的平动和相对质心的转动。质心的平动遵从质心运动定律，以及衍生的质心动量定理、动能定理、角动量定理；相对质心的转动和刚体的定轴转动遵从相同的规律，即，转动定律、角动量定理、动能定理等。6.（3分）狭义相对论运动学中的几个典型时空观现象。同时的相对性、运动时钟变慢、运动尺子变短、时钟的同步、多普勒效应。