指标体系建立、权重与评分细则确定中，层次分析法的运用

指标体系建立、权重与评分细则确定中，层次分析法的运用学生创新能力培养、测量与评价课题运用方法（一）殷伯明浦东教育发展研究院2012.11.27一、要素的定性分析与层次结构模型建立二、要素比较的量化：直接定量/特尔菲法咨询/9级标度比较三、判断矩阵建立，和法或根法求矩阵的特征向量（权重）四、专家思维判断逻辑的一致性判断五、指标体系评分细则的确定——白化函数上世纪70年代，美国运筹学家A.L.Saaty提出定性与定量结合的的层次分析法AHP（AnalyticalHierarchyProcess)，将决策者对复杂系统的决策思维过程，系统化、模型化、数量化。一、层次分析法（AHP）基本原理1.首先按复杂问题性质和总目标，将问题层次化，分解成一个多层次的分析结构模型。2.然后在各因素间进行简单比较和计算，确定最低层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值或相对优劣次序的排序，得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。3.这种方法适用于多准则、多目标复杂问题的决策分析，广泛用于地区经济发展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和分析，以及企业人员素质测评。二、层次分析法（AHP）具体步骤1.明确问题，分析因素分析社会、经济与管理等问题时，要对问题有明确认识，了解问题所含因素，确定因素间的关联和隶属关系。分析需要的定量数据不多，但要求对问题所包含的因素及其关系具体而明确；2.建立递阶层次结构据分析，将问题所含因素，按照是否具有某些共同特征进行归纳，把它们间的共同特性组合起来，看成是系统中新的更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层次因素。最高层——目标层中间层——准则层最低层——方案层或措施层3.建立两两比较的判断矩阵判断矩阵表示对本层次某单元（元素），与它有关单元间相对重要性的比较。判断矩阵一般形式如下：1……bn2bn1pn…1………………1………b2n……1b21p2b1n……b121p1pn……p2p1一般，判断矩阵形式：B=(bij)n×n判断矩阵B具有特征：bii=1，bji=1/bij，bij=bik/bjk(i，j，k=1，2，….，n)为使判断量化，必须定量描述任意两方案对某一准则的相对优越程度。一般，对单一准则，进行两方案比较，总能判断出优劣。层次分析法采用1～9标度，对不同的比较给出标度（2，4，6，8，为上下两标度间的拆衷标度，也可以不用）。两个元素的反比较1/bij两个元素比较，一元素比另一元素极端重要9两个元素比较，一元素比另一元素重要得多7两个元素比较，一元素比另一元素明显重要5两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要3两个元素对某个属性具有同样重要性1定义与说明标度bij判断矩阵中的bij，是根据资料数据、专家意见和系统分析人员经验，经反复研究后确定的。由于判断矩阵由人们主观评估给出，所以完全有可能出现类似“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的严重逻辑错误，如用这样的判断矩阵选择方案，其可靠性难以保证。因此，应用层次分析法保持思维判断的一致性非常重要，比较矩阵中bij=1/bji0，bii=1，称为正互反矩阵，满足bijbjk=bik时，称为一致性矩阵。判断矩阵一致性指标C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=max-nn-1一致性指标C.I.值越小，判断矩阵越接近于完全一致性。C.I.值越大，判断矩阵偏离完全一致性程度越大。4.应用层次分析法，保持判断思维一致性，非常重要只要矩阵中的bij满足前述三条关系式时，就说明判断矩阵具有完全的一致性。一般。判断矩阵阶数n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.值便越小。n3时，判断矩阵永远具有完全一致性。对多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.(RandomIndex)，1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标，见表。1.591.581.561.541.521.491.46RI1514131211109n1.411.321.241.120.900.5800RI87654321n判断矩阵一致性指标C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I.之比，称为随机一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。C.R.=C.IR.I.当C.R.0.10时，便认为判断矩阵具有可接受的一致性。当C.R.≥0.10时，就需调整和修正判断矩阵，使其满足C.R.0.10，从而具有满意的一致性。4.层次单排序：把本层各元素对上一层，排出比较顺序这就要计算判断矩阵的最大特征向量，常用方法是和积法和方根法。(1)和积法计算步骤：按列归一，按行求和——各行和归一，将判断矩阵每列元素作归一化处理：bij=bij1nbij(i，j=1，2，…，n)将每列经归一化后的判断矩阵按行求和：Wi=1nbij(i=1，2，…，n)对按行求和的向量W=（W1，W2……Wn)t做归一化处理:Wi=(i=1，2，…，n)Wi1nWjW=（W1，W2……Wn)t即为所求特征向量(权重)。计算判断矩阵最大特征根max=1n(BW)inWi(2)方根法具体计算步骤：按行连乘，开n次方根-几何平均Mij=1nbij(i=1，2，…，n)计算Mi的n次方根WiWi=nMi(i=1，2，…，n)所得W=（W1，W2，…，Wn)t即为所求特征向量（权重）。对向量W=（W1，W2……Wn)t归一化处理:Wi=Wi1nWj(i=1，2，…，n)计算判断矩阵最大特征根max=1n(BW)inWi(3)层次总排序利用层次单排序计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。三、实例——浦东新区教育信息化指标体系的层次分析1.建立两两比较的判断矩阵判断矩阵表示本层次各元素对上一层次某单元（元素）相对重要性比较。取得重要性（权重）有两种情况：（1）可定量（价格、重量等），则权重可直接确定。（2）无法直接定量，就用定性方法求权重。例如，据专家意见和系统分析人员经验，用特尔菲法确定：本例。万不得已时也采用将各因素对上层元素的重要性做两两比较按1~9标度选取，见表1。1.用特尔菲法咨询，获得重要性程度比较原教育信息化指标体系，浦东新区使用一年多，有不少争议，需优化。为简便计，拟跳过一级指标（一级指标只是二级指标的逻辑归类），直接用层次分析法确定11项二级指标权重为获得11项二级指标互相比较的重要程度，选择由参加了区教育信息化专项督导的资深区信息技术教研员5人、区信息中心技术人员5人、区示范性高中信息技术老师1人组成专家组，进行特尔菲法咨询。第2轮咨询结果，见表。表中，有4项标准差在0.685之下，有6项在1.00之下，只有维护情况标准差1.14稍微超过1，基本满足意见集中度要求，得重要性程度排序：课程实施教师发展人力资源信息资源,组织规划制度建设，管理服务，学生发展维护情况经费投入应用特色表1浦东新区教育信息化指标体系二级指标第二轮咨询结果反馈指标名称很重要1重要2较重要3一般4不重要5专家期望标准差1信息资源44111.900.992人力资源461.600.523组织规划2711.900.574制度建设1362.500.715经费投入11443.100.996维护情况21432.801.147课程实施911.100.328管理服务22512.500.979教师发展8111.300.6710学生发展2452.500.8711应用特色1183.600.971.90，坐标点在什么地方？3.60，坐标点又在什么地方？按照表1的专家期望值，列出判断矩阵第一列以“应用特色”为比较基准1，其他二级指标对“应用特色”的两点距：bi1=|ai1–3.60|+1=[2.7，3.0，2.7，2.1，1.5，1.8，3.5，2.1，3.3，2.1，1]T第二列以“经费投入”为比较基准1，以此类推，分别列出2，3，…，11列基点不同的两点距，并列出判断矩阵如下：制度维护经费应用组织信息学生管理课程教师人力课程实施教师发展人力资源组织规划信息资源学生发展管理服务制度建设维护情况经费投入应用特色12.15.18.18.14.24.27.27.20.35.383.013.16.16.12.22.25.25.28.23.367.077.013.13.19.19.19.12.25.20.356.063.077.0116.16.16.19.12.27.256.063.077.0116.16.16.19.12.27.242.045.053.063.063.01113.16.11.242.045.053.063.063.01113.16.11.237.040.053.063.063.01113.16.11.237.040.045.053.053.077.077.077.013.18.133.036.040.045.045.063.063.063.077.015.129.030.033.037.037.048.048.048.056.067.01B和积法具体计算步骤：对B每列求和（看成表格），有11列：)80.5,59.6,11.8,93.9,93.9,57.14,57.14,17.15,42.17,47.20,80.25(1nijb将判断矩阵每列元素作归一化处理，得归一化矩阵1,1,2,,ijijnijbbijnb847.1653.1368.1133.1133.1769.0769.0753.0634.0531.0411.017.018.018.018.018.016.016.018.015.015.0136.014.015.016.016.016.015.015.016.014.014.0128.011.012.012.013.013.013.013.013.013.012.0116.010.009.009.010.010.011.011.011.011.011.0105.010.009.009.010.010.011.011.011.011.011.0105.007.007.006.006.006.007.007.007.007.007.0081.007.007.006.006.006.007.007.007.007.007.0081.006.006.006.006.006.007.007.007.007.007.0081.006.006.006.005.005.005.005.005.006.006.0070.006.005.005.005.005.004.004.004.004.005.0058.006.005.004.004.004.003.003.003.003.003.0039.01B将每列经归一化处理后的判断矩阵B1按行相加：，见矩阵B1后面的一列向量1niijiwbW=（w1，w2，……，wn）T=（0.411，0.531，0.634，0.753，0.769，0.769，1.133，1.133，1.368，1.653，1.847）T对向量W做归一化处理，得矩阵的特征向量，即为权重：Tii)17.0,15.0,12.0,10.0,10.0,07.0,07.0,07.0,06.0,05.0,04.0(/1111求判断矩阵B与向量W乘积——复习一下矩阵的乘法847.1653.1368.1133.1133.1769.0769.0753.0634.0531.0411.012.15.18.18.14.24.27.27.20.35.383.013.16.16.12.22.25.25.28.23.367.077.013.13.19.19.19.12.25.20.356.063.077.0116.16.16.19.12.2