浙江省2006年全国初中数学竞赛复赛试题及答案

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2006年4月2日下午1：00—3：00）题号一二三总分1－67－1213141516得分评卷人复查人答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）（A）21（B）22（C）23（D）242．如图，长方形ABCD恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD的周长是（）（A）17（B）18（C）19（D）3173．设0＜k＜1，关于x的一次函数)1(1xkkxy，当1≤x≤2时的最大值是（）（A）k（B）kk12（C）k1（D）kk14．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（）（A）10个（B）14个（C）15个（D）30个5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212xxy的图象上整点的个数是（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个得分评卷人ADBC（第2题）6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（）（A）15种（B）23种（C）28种（D）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x，2x，3x，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x=．8．如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是．9．函数1422xxy的最小值是．10．在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是．11．某商店出售A、B、C三种生日贺卡，已知A种贺卡每张0.5元，B种贺卡每张1元，C种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C种贺卡至少有张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a，b，c，…，y，z按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x1，x2，x3，x4，x5．已知x1+3x2，4x2，x3+2x4,，5x4，6x4+x5除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是．ABOPC（第8题）得分评卷人ABCDPE（第10题）三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？得分评卷人14．（本题满分12分）如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BACMNPEF得分评卷人15．（本题满分15分）设,,,321xxx…2006,x是整数，且满足下列条件：①1≤nx≤2，n=1，2，3，…，2006；②321xxx…2002006x；③232221xxx…200622006x．求333231xxx…32006x的最小值和最大值．得分评卷人16．（本题满分15分）一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（１）（3,5）；（２）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．得分评卷人2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x1，x2，x3，x4，x5，则x3=17．当这5个自然数中最大一个x5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x1=0，x2=1，x4=18，此时x5=24．2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x，y，则3x=4y，yx34．∴334yy．23y，x=2．∴长方形ABCD的周长为19．3．答案：A解：kxkky1)1(，∵0＜k＜1，∴kkkkk)1)(1(1＜0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为kkkk11．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形．5．答案：C解：将函数表达式变形，得122xyxy，24224xyxy，25)12)(12(xy．∵x，y都是整数，∴)12(),12(xy也是整数．∴2512,112xy或2512,112xy或112,2512xy或112,2512xy或512,512xy或.512,512xy解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）．6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克，28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．答案：15解：1421xx，1731xx，3332xx，∴32321xxx，152x．8．答案：a7解：连结OC，OP，则∠OCP=90°，∠COP=60°，OC=a，∴PC=a3，PB=PC=a3，PA=a7．9．答案：1解：y=3)1(22x=.0,3)1(2,0,3)1(222xxxx其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．10．答案：26解：连结AP，则PE+PC=PE+PA，当点P在AE上时，其值最小，最小值为26102422．11．答案：20解：设A、B、C三种贺卡售出的张数分别为x，y，z，则.1805.25.0,150zyxzyx消去y得，305.15.0zx．由0305.1z，得20z．12．答案：right，evght解：由题意得，.9266,9265,20262,6264,152635544434322121kxxkxkxxkxkxx（54321,,,,kkkkk为非负整数）．ABOPC（第8题）xyO（第9题）由0≤54321,,,,xxxxx≤25，可分析得出，123454,17,8,216,7,19.xxxxx或或，三、解答题（共4题，满分54分）13．(12分)解：（1）由条件得，在B站有7人下车，∴19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人．……………2分（2）在E站有2人下车，即在D—E途中有2个浙江人，5个上海人，……………2分从而C—D途中至少有2位浙江人，在D站至少有2人下车，……………2分∴C站后车厢里至少有9个人．∵火车离开B站时车厢里有12人，离开D站时有7人，∴在C站至少有3人下车，即经过C站后车厢里至多9人，故经过C站后车厢里有9人，即在C站有3人下车．……………2分∴B—C途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人．……………2分在D站有2人下车，C—D途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN，则PN∥AB，且ABPN21．……………………2分∴△ABF∽△NPF，2PNABFNAFFPBF．∴BF=2FP．……………………2分（2）如图2，取AF的中点G，连结MG，则MG∥EF，AG=GF=FN．……………………2分∴S△NEF=41S△MNG……………………2分=41×32S△AMN……………………2分=41×32×41S△ABC=241S．……………2分BACMNPEF（图1）BACMNPEF（图2）G15．(15分)解：设,,,321xxx…2006,x中有r个－1、s个1、t个2，则.20064,2002tsrtsr………………5分两式相加，得s＋3t＝1103，故0367t．………………2分∵333231xxx…tsrx832006………………2分=2006t．………………2分∴200≤333231xxx…32006x≤6×367+200=2402．当0,1103,903tsr时，333231xxx…32006x取最小值200，………2分当367,2,536tsr时，333231xxx…32006x取最大值2402．………2分16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）．………………3分从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．………………2分理由如下：∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，∴由规则①