2015年高考文科数学专题复习题：数学思想方法和常用的解题技

《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、选择题1．若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则()．A．RPQB．PQRC．QPRD．PRQ解析取a＝100，b＝10，此时P＝2，Q＝32＝lg1000，R＝lg55＝lg3025，比较可知PQR.答案B2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()．A．8B．10C．12D．2＋log35解析用特殊法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可知B正确．答案B3．函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x0，2x＋1，x≤0的零点个数为()．A．0B．1C．2D．3解析当x0时，可作出y＝lnx，y＝x2－2x的图象如图所示．由图示可得函数f(x)＝lnx－x2＋2x(x0)有两个零点．当x0时，f(x)＝2x＋1有零点x＝－12.综上，可得f(x)有3个零点．答案D4．设0xπ2，则“xsin2x1”是“xsinx1”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由0xπ2，得0sinx1，故由xsinx1，可得xsin2xxsinx1，即“xsin2x1”是“xsinx1”的必要条件；而若xsin2x1，则xsinx1sinx，但1sinx1，故不能得到xsinx1，所以“xsin2x1”是“xsinx1”的必要而不充分条件．答案B5．函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为()．解析函数有意义，需使ex－e－x≠0，故得其定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故排除C，D；又因为y＝ex＋e－xex－e－x＝e2x＋1e2x－1＝1＋2e2x－1，所以，当x0时，函数为减函数，故选A.答案A6．已知函数f(x)＝sin2ωx－π3(ω0)的最小正周期为π，则f(x)的图象的一条对称轴方程是()．A．x＝π12B．x＝π6C．x＝512πD．x＝π3解析由2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin2x－π3，代入验证可知使sin2x－π3＝±1，只有x＝512π，选C.答案C7．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()．A．(0,1)B．(0,1]C．(－∞，1)D．(－∞，1]解析令m＝0，由f(x)＝0，得x＝13，适合，排除A，B.令m＝1，由f(x)＝0，得x＝1；适合，排除C.答案D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m，n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是()．A．①或②B．①或③C．只有②D．②或③解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②；取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．因此，可排除A，C，D，选B.答案B9．若动点P，Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于()．A.203B.234C.125D.415解析选一个特殊位置(如图)，令OP，OQ分别在长、短正半轴上，由a2＝16，b2＝9，得OP＝4，OQ＝3，则OH＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C正确．答案C10．在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()．A．－5B．1C．2D．3解析如图阴影部分即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域．而直线ax－y＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a＝1时，封闭区域的面积是1；当a＝2时，封闭区域的面积是32；当a＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x＝π3对称；③在－π6，π3上是增函数”的一个函数是()．A．y＝sinx2＋π6B．y＝cos2x＋π3C．y＝sin2x－π6D．y＝cos2x－π6解析对于函数y＝sinx2＋π6的周期是4π，所以排除A；对于函数y＝cos2x＋π3的周期为π，而cos2×π3＋π3＝－1，故x＝π3是此函数的对称轴，但此函数在－π6，π3上不是增函数，所以排除B；对于函数y＝sin2x－π6的周期为π，又sin2×π3－π6＝1，故x＝π3是此函数的对称轴，又由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，当k＝0时，知此函数在－π6，π3上是增函数，故选C.答案C12．设0b1＋a，若关于x的不等式(x－b)2(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()．A．－1a0B．0a1C．1a3D．3a6解析取a＝±12，代入原不等式得3x2－8bx＋4b20，解得x23b或x2b，不符合条件，从而排除A，B.取a＝4代入原不等式得15x2＋2bx－b20，解得－b3xb5，0b5，解集中的整数解少于3个，从而排除D，故选C.答案C二、填空题13．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析用正方体ABCDA1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．答案①②④14．已知函数f(x)＝lnx－ax.若f(x)x2在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．解析∵f(x)x2，∴lnx－axx2，又x1，∴axlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝1x－6x＝1－6x2x，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0恒成立，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴h(x)h(1)＝－20.∴即g′(x)0∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)g(1)＝－1.∴a－1.答案(－1，＋∞)15．过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则1p＋1q为________．解析若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝12a，∴1p＋1q＝4a.答案4a16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．解析由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f(x＋1)＝－f(x)，令x＝－12，可得f12＝－f－12，而函数f(x)为偶函数，所以f12＝－f－12＝－f12，解得f12＝0，故f－12＝0.根据函数f(x)在[－1,0]上为增函数及f－12＝0，作出函数f(x)在[－1,0]上的图象，然后根据f(x)为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示.由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的．答案①②⑤三、解答题17．设函数f(x)＝x－2x－alnx(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝3时，f′(x)＝1＋2x2－3x＝x2－3x＋2x2＝x－1x－2x2.令f′(x)＝0，解得x＝1或2.f′(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在x＝1处取得极大值，f(1)＝－1；在x＝2处取得极小值，f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2，令g(x)＝x2－ax＋2，其判别式Δ＝a2－8，①当|a|≤22时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a－22时，Δ0，g(x)＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a22时，Δ0，g(x)＝0的两根为x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，且都大于0，f′(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)在0，a－a2－82，a＋a2－82，＋∞上单调递增，在a－a2－82，a＋a2－82上单调递减．综上，当a≤22时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a22时，f(x)在0，a－a2－82，a＋a2－82，＋∞上单调递增，在a－a2－82，a＋a2－82上单调递减．18．已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0.a1＝2，设a1，a3，a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{anbn}的前n项和Tn；(2)将数列{an}中与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1(n≥2，n∈N*)的值．解因为a1，a3，a7成等比数列，{an}是公差d≠0的等差数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，整理得a1＝2d.又a1＝2，所以d＝1，b1＝a1＝2，q＝b2b1＝a3a1＝a1＋2da1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋1，bn＝b1·qn－1＝2n，所以anbn＝(n＋1)·2n.(1)用错位相减法，可求得{anbn}的前n项和Tn＝n·2n＋1.(2)新的数列{cn}的前2n－n－1项和为数列{an}的前2n－1项和减去数列{bn}的前n项和，所以S2n－n－1＝2n－12＋2n2－21－2n1－2＝(2n－1)(2n－1－1)，所以S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1＝1.19．已知函数f(x)＝13x3－ax2＋(a2－1)x(a∈R)．(1)若x＝1为f(x)的极值点，求正数a的值，并求出f(x)在[0,4]上的最值；(2)若f(x)在区间(0,2)上不单调，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，由题意，f′(1)＝0，即a2－2a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝2.当a＝2时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，令f′(x)0，解得x1或x3；令f′(x)0，解得1x3.f(x)的增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，减区间为(1,3)．于是f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；在[3,4]