2015年高考文科数学专题复习题：专题-- 第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·湖州模拟)已知sinπ2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为()．A．－79B．79C．29D．－23解析由题意，得sinπ2＋α＝cosα＝13.所以cos(π＋2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝1－2cos2α＝79.答案B2．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于()．A．5B．25C．41D．52解析∵S＝12acsinB＝2，∴12×1×c×sin45°＝2.∴c＝42.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×42×cos45°.∴b2＝25，b＝5.答案A3．(2014·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案D4．(2013·浙江卷)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α等于()．A.43B．34C．－34D．－43解析∵sinα＋2cosα＝102，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝52.化简，得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－34.答案C5．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()．A.π2B．π6C．π4D．π3解析在△ABC中，利用正弦定理得3sinAsinB＝3sinB，∴sinA＝32.又A为锐角，∴A＝π3.答案D6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于()．A.725B．－725C．±725D．2425解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由bsinB＝csinC，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin2B＝8csinB，所以cosB＝45.所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝725.答案A7．已知tanβ＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为()．A.6365B．3365C.1365D．6365或3365解析依题意得sinβ＝45，cosβ＝35；注意到sin(α＋β)＝513sinβ，因此有α＋βπ2(否则，若α＋β≤π2，则有0βα＋β≤π2，0sinβsin(α＋β)，这与“sin(α＋β)sinβ”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝6365.答案A二、填空题8．(2014·衡水调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b＝______.解析在△ABC中，sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有a·a2＋b2－c22ab＝3·b2＋c2－a22bc·c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，则4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍)．答案49．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝________.解析在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝(2)2＋32－2×2×3cosπ4＝5.∴AC＝5，由正弦定理得sin∠BAC＝BC·sin∠ABCAC＝3×sinπ45＝3×225＝31010.答案3101010．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为______．解析sin∠BAC＝sin(π2＋∠BAD)＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝223.BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3，即BD＝3.答案311．若α，β∈0，π2，cosα－β2＝32，sinα2－β＝－12，则cos(α＋β)＝________.解析∵α，β∈0，π2，∴－π4α－β2π2，－π2α2－βπ4，由cosα－β2＝32和sinα2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos(α＋β)＝－12.答案－1212．(2014·四川卷改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC＝________m.解析如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝603(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－3)(m)．所以BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案120(3－1)三、解答题13．已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解(1)由题意知f(x)＝2cosωx＋π6的最小正周期T＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f(x)＝2cos15x＋π6，又α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f5β－5π6＝1617，即cosα＋π2＝－35，cosβ＝817，∴sinα＝35，cosα＝45，sinβ＝1517，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.14．(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解(1)因为在Rt△BPC中，BC＝1，PB＝12，所以∠CBP＝60°，所以∠PBA＝30°，由余弦定理，得PA＝PB2＋BA2－2PB·BA·cos∠PBA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，由正弦定理，得3sin150°＝sinαsin30°－α，化简得3cosα＝4sinα，故tanα＝34.即tan∠PBA＝34.15．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.新课标第一网系列资料