2015年高考文科数学专题复习题：专题-- 第3讲 不等式及线性规划问题

第3讲不等式及线性规划问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·枣庄二模)已知a0，b0，且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()．A.14B．4C．12D．2解析由4＝2a＋b≥22ab，得ab≤2，又a0，b0，所以1ab≥12，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立．答案C2．(2013·湖北卷)已知全集为R，集合A＝x12x≤1，B＝{}x|x2－6x＋8≤0，则A∩∁RB等于()．A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x2，或x4}D．{x|0x≤2，或x≥4}解析A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}．∴A∩∁RB＝{x|x≥0}∩{x|x4，或x2}，＝{x|0≤x2，或x4}．答案C3．(2013·天津卷)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()．A．－7B．－4C．1D．2解析可行域如图阴影部分(含边界)，令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，经平移可知z＝y－2x，在点A(5,3)处取得最小值，最小值为－7.选A.答案A4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()．A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵ab，∴v＝2ssa＋sb＝2saba＋bs＝2aba＋b2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋ba2－a2a＋b＝0，∴va.答案A5．(2014·广东卷)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()．A．5B．6C．7D．8解析用图解法求出线性目标函数的最大值和最小值，再作差求解．画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由y＝x，y＝－1，得x＝－1，y＝－1，∴A(－1，－1)．由x＋y＝1，y＝－1，得x＝2，y＝－1，∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmin＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.答案B6．(2014·北京卷)若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()．A．2B．－2C．12D．－12解析作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4求参数k的值．作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A－2k，0.∵z＝y－x的最小值为－4，∴2k＝－4，解得k＝－12，故选D.答案D二、填空题7．(2013·广东卷)不等式x2＋x－20的解集为________．解析由x2＋x－20得－2x1，故其解集为{x|－2x1}．答案{x|－2x1}8．(2013·四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．解析当x≥0时，f(x)＝x2－4x5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)5的解集为{x|－7x3}．答案{x|－7x3}9．(2014·浙江卷)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．解析利用不等式求解．因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.因为a2＋b2＋c2＝1，所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，所以3a2≤2，所以a2≤23，所以－63≤a≤63.所以amax＝63.答案6310．(2014·湖南卷)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥k，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.解析作出不等式组表示的平面区域，结合线性目标函数的最值求k.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.答案－211．设a＋b＝2，b0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析因为12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b4|a|＝|a|b，a0，即a＝－2，b＝4时取等号，故12|a|＋|a|b取得最小值时，a＝－2.答案－212．(2013·浙江卷)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.解析约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC，其中点A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)．目标函数z＝kx＋y，化为y＝－kx＋z.当－k≤12即k≥－12时，目标函数z＝kx＋y，在点A(4,4)取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；当－k12即k－12时，目标函数z＝kx＋y在点B(0,2)取得最大值12，故k·0＋2＝12，无解，综上可知，k＝2.答案213．有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析本题是实际问题，建立函数关系即可．设矩形场地的宽为xm，则矩形场地的长为(200－4x)m，面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500.故当x＝25时，S取得最大值2500，即围成场地的最大面积为2500m2.答案2500m2三、解答题14．已知函数f(x)＝2xx2＋6.(1)若f(x)k的解集为{x|x－3，或x－2}，求k的值；(2)对任意x0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．解(1)f(x)k⇔kx2－2x＋6k0.由已知{x|x－3，或x－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k，即k＝－25.(2)∵x0，f(x)＝2xx2＋6＝2x＋6x≤226＝66，当且仅当x＝6时取等号．由已知f(x)≤t对任意x0恒成立，故t≥66，即t的取值范围是66，＋∞.15．(2014·南京、盐城高三期末)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k20x＋100(x≥0，k为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x的函数关系式；(2)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？解(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝k100＝24，得k＝2400，所以F(x)＝15×240020x＋100＋0.5x＝1800x＋5＋0.5x(x≥0)．(2)因为F(x)＝1800x＋5＋0.5(x＋5)－2.5≥21800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1800x＋5＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元．新课标第一网系列资料