2015年高考文科数学--专题复习题：专题---第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质

第一部分重点难点突破（必修模块）专题一函数、不等式第1讲函数、基本初等函数的图象与性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()．A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|解析依据函数解析式，通过判断定义域和单调性，逐项验证．A项，函数定义域为R，但在R上为减函数，故不符合要求；B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；C项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要求；D项，函数定义域为R，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不符合要求．答案B2．(2014·临沂一模)函数f(x)＝lnxx－1＋x12的定义域为()．A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析要使函数有意义，则有x≥0，xx－1＞0，即x≥0，xx－1＞0，解得x＞1.答案B3．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝a·2x，x≥0，2－x，x0(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝()．A．14B．12C．1D．2解析根据分段函数的解析式列方程求字母的取值．由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝14.答案A4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()．A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1解析与曲线y＝ex图象关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.答案D5．(2014·山东卷)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()．A．a1，c1B．a1,0c1C．0a1，c1D．0a1,0c1解析依据对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换求解．由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0a1,0c1.答案D6．(2013·浙江卷)已知x，y为正实数，则()．A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)．故选D.答案D7．(2014·安徽卷)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()．A．bacB．cabC．cbaD．acb解析利用“媒介”法比较大小．∵a＝log37，∴1a2.∵b＝21.1，∴b2.∵c＝0.83.1，∴0c1.故cab，选B.答案B二、填空题8．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)9．(2014·大纲全国卷改编)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝______________.解析由函数的奇偶性和对称性推出周期性，利用周期性求函数值．因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1.答案110．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex－1，x1，x13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．解析结合题意分段求解，再取并集．当x1时，x－10，ex－1e0＝1≤2，∴当x1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x13≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．答案(－∞，8]11．(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋10，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)0知，f(mx－2)f(－x)．∴mx－2－x，即mx＋x－20，令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)0恒成立，可得g－2＝－x－20，g2＝3x－20，∴－2x23.答案－2，2312．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有fx1－fx2x1－x20，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；④f(2014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有fx1－fx2x1－x20，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2,0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,6]与[－6，－2)上也单调且有f(6)＝f(－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2014)＝0，④正确．答案①②④三、解答题13．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a1)，若函数y＝g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．解(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，因为Q(－x，－y)在f(x)的图象上，所以－y＝loga(－x＋1)，即y＝－loga(1－x)(x1)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga1＋x1－x≥m.设F(x)＝loga1＋x1－x，x∈[0,1)．由题意知，只要F(x)min≥m即可．因为F(x)在[0,1)上是增函数，所以F(x)min＝F(0)＝0.故m的取值范围是(－∞，0]．14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝fx，x＞0，－fx，x＜0.若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴a＞0，Δ＝a＋12－4a≤0，即a＞0，a－12≤0.∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝x2＋2x＋1x＞0，－x2－2x－1x＜0.(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．15．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解(1)∵f(x)＝ex－1ex，且y＝ex是增函数，y＝－1ex是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立⇔t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立⇔t＋122≤x＋122min对一切x∈R恒成立⇔t＋122≤0⇔t＝－12.即存在实数t＝－12，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．新课标第一网系列资料