2015年高考文科数学专题复习题：专题四　---第1讲 三视图及空间几何体的计算问题

专题四立体几何第1讲三视图及空间几何体的计算问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()．A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有一个虚线(一个顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.答案D2．(2013·东北三校第三次模拟)如图，多面体ABCD­EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.答案D3．(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()．A．21＋3B．18＋3C．21D．18解析由三视图知，几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×2×2－6×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋3.答案A4．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()．A．4B．143C．163D．6解析由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V＝13(12＋1×22＋22)×2＝143，故选B.答案B5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A­BCD正视图和俯视图如图，则三棱锥A­BCD侧视图的面积为()．A.613B．1813C．213D．313解析由正视图及俯视图可得，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为2×322＋32＝613的等腰直角三角形，其面积为12×6132＝1813.答案B6．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为()．A．13B．7＋32C．72πD．14解析由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14.答案D7．(2013·湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()．A.32B．1C．2＋12D．2解析易知正方体是水平放置的，又侧视图是面积为2的矩形．所以正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为2.答案D二、填空题8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．解析由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以V＝2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.答案16＋8π9．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝13×14S·12h＝124Sh＝124V2，即V1∶V2＝1∶24.答案1∶2410．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1F＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.答案1611．(2014·重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为12×(2＋5)×4＝14，计算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为12×(2＋5)×5＝352.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为12×5×3＝152.又Rt△ABC的面积为12×4×3＝6，矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，故几何体ABC－A1PC1的表面积为14＋352＋152＋6＋15＝60.答案6012．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．解析在Rt△ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝4－1＝3.同理，SB＝3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD＝BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°，故AD＝12SA＝32，则△ABD的面积为12×1×AD2－122＝24，则三棱锥S－ABC的体积为13×24×2＝26.答案26三、解答题13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥E­ABCD，AB＝8，BC＝6.(1)V＝13×8×6×4＝64.(2)四棱锥E­ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝42＋822＝42；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝42＋622＝5.因此S＝2×12×6×42＋12×8×5＝40＋242.14．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；(2)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．(1)证明∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．又四边形ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．∴直线E′F′垂直且平分线段AD.(2)解如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E­ABCD和正四面体E­BCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝3，∴EE′＝2.∴VE­ABCD＝13·S正方形ABCD·EE′＝13×22×2＝423.又VE­BCF＝VC­BEF＝VC­BEA＝VE­ABC＝13S△ABC·EE′＝13×12×22×2＝223，∴多面体ABCDEF的体积为VE­ABCD＋VE­BCF＝22.15．(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝22.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F－DEG的体积VF­DEG.(1)证明在等边三角形ABC中，AB＝AC.∵AD＝AE，∴ADDB＝AEEC，∴DE∥BC，∴DG∥BF，如图2，DG⊄平面BCF，∴DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.∵DG∩GE＝G，∴平面GDE∥平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥FC，∴BF＝FC＝12BC＝12.在图2中，∵BC＝22，∴BC2＝BF2＋FC2，∴∠BFC＝90°，∴FC⊥BF.∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)解∵AD＝23，∴BD＝13，AD∶DB＝2∶1，在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF，∴AF⊥平面BCF，由(1)知平面GDE∥平面BCF，∴AF⊥平面GDE.在等边三角形ABC中，AF＝32AB＝32，∴FG＝13AF＝36，DG＝23BF＝23×12＝13＝GE，∴S△DGE＝12DG·EG＝118，∴VF－DEG＝13S△DGE·FG＝3324.新课标第一网系列资料