2015年全国初中数学竞赛预选赛试题

2015年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北)（时间：120分钟满分：120分）一．选择题（每小题6分，共36分）1．如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针旋转90º后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝65º，则∠ADE＝()．A.30ºB.25ºC.20ºD.15º第6题图第5题图第1题图OMABCDabcdEABDC2．有甲、乙、丙三个不透明布袋，里面都装有数量相同的玻璃球，这些球只有颜色不同．已知甲布袋中黑球占袋内总球数的14，乙布袋中没有黑球，丙布袋中黑球占袋内总球数的712．现将乙、丙布袋内的球全部倒入甲布袋中，再从甲布袋中任取一个球，则取出黑球的概率是（）．A.56B.512C.518D.7483．反比例函数kyx的自变量x满足12≤x≤2，函数值y满足14≤y≤1，则k的值为（）．A.12B.12或2C.12或18D.2或184．若172是关于x的一元二次方程2()7axb(0a)的两根，则ba的值为（）．A.18B.8C.2D.925．如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数221ymxmx的图象如图，则下面结论正确的是（）．A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c为y轴D.b为x轴，d为y轴6.如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于C，圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的两侧，且使得MC＝MD＝AC．现有下列结论：(1)MD与⊙O相切;(2)四边形ACMD是菱形;(3)AB＝MO;(4)∠D＝120º．其中正确的结论有（）个．A.4B.3C.2D.1二．填空题（每小题6分，共36分）7.若方程280xxm有一个根是a,方程280xxm有一个根是－a,则a＝．8.如图所示为一个电路图，在该电路图上有四个开关A、B、C、D和一个灯泡○×，现在任意闭合其中两个开关，灯泡能够发光的概率为．第8题图第9题图ADBCABCD9.如图为一个玉石饰品的示意图，与中心在同一平面上的A、B为外圆上的两点，且AB与内圆相切于C点，过C作CD⊥AB交外圆于D，且AB＝24cm，CD＝6cm，则外圆的直径是cm．10.已知二次函数2(21)1ykxkx的图象与x轴交于1(,0)Ax、2(,0)Bx，1x＜2x，现有下列结论：①方程2(21)10kxkx有两个不相等的实数根；②当x＝-2时，y＝1;③当x＞2x时，y＞0;④241kABk．其中正确结论的序号是．11．如图，在△ABC中，AB＝30cm，AC＝20cm，以BC为边作等边△BCD，连接AD，则AD的最大值与最小值的和是．第11题图第12题图xyABCDEOABCD12．如图，△AOB中为等边三角形，点B的坐标为（－1，0），过C（1，0）作直线l交AO于D，交AB于E，E在反比例函数kyx的图象上，且△ADE的面积和△DOC的面积相等，则k＝．三．解答题（每小题12分，共48分）13．关于x的一元二次方程2(2)20(0)kxkxk．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．14．如图是四张卡片A、B、C、D的正面图案，它们的背面都相同，现在将这四张卡片背面朝上洗匀，先摸出一张，记下正面的图案后放回，再次洗匀后又摸出一张．(1)用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性；(2)求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率．BCDA15.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30º,∠ABC＝90º,延长BC到点O，使得OC＝BC，以点yxOFEDCBAO为圆心，以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D，连接BD．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AB＝3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.ABCDO16.已知二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于C，且OC＝OB＝2OA＝2．（1）求此二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）过BD上一点E作EF⊥x轴于F，当E在线段BD上运动时（不与B、D点重合），设EF＝t，四边形ACEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使得△ACG为直角三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由．参考．．答案（原文在不影响题意时局部有编辑）xBEADOyC题号123456789101112答案CCABDA0,81/230①②60－33/1613.(1)2(2)k≥0;(2)122(2)(1)01,kxxxxk,1,2k，1,2k14.(1)…,(2)14，（说明：本题官方解答是1/16）;15.(1)…,(2)32616.(1)2192,(,)24yxxD;(2)21193,(0)334Sttt;(3)125735(,),(,)2424GG第11题将ABC绕B点顺时针旋转60º，得A'DC，连A'A，在A'AD中，－A'DAA'≤AD≤＋A'DAA'（取等号时是A、A‘、D三点共线），－ABAC≤AD≤＋ABAC，即10＝30－20≤PC≤30＋20＝50．12．应用等积转换，也较基础，BODCODADESSS，BCEAOBSS，设(,)Eab，则223124b，则34b，又13(,)22A，故E为AB的中点，33(,)44E，即可得k．15．解：(1)连接OD，∵30Ao，90ABCo，∴60OCDACBo，∵OCOD，∴OCD为等边三角形，∴CDOCBC，∴1302CDBCBDOCDo，∴603090ODBooo，∴ODBD，∵OD为半径，∴BD与Oe相切．(2)∵30Ao，30CDBo，90ABCo，3AB，PyxOFEDCBAG2G1ABCOxy∴3BD，2ACBC，∴22232BCBC（）（），∴1BC，∴1OD，∴阴影部分的面积为21603311=236026OBDOCDSS扇形．16．解：(1)由题意(1,0)A，(2,0)B，(0,2)C，设二次函数的解析式为(1)(2)yaxx，则2(01)(02)a，解得1a，∴22yxx，顶点为19(,)24D．(2)点(2,0)B、19(,)24D所在的直线方程为332yx，∴2(2,)3Ett，其中904t，∴211211=12+(2)(2)322333AOCOCEFSSStttt梯形，即211333Stt，其中自变量t的取值范围是904t．(3)存在点157(,)24G和235(,)24G使得ACG为直角三角形．设点G的坐标为2(,2)Gmmm，则2222()365AGmmmm，2222()CGmmm，25AC，①若AG为斜边，则222AGCGAC，即222222()365()5mmmmmmm，解得0m(舍)，或32m，此时点35(,)24G；②若CG为斜边，则222CGAGAC，即222222()()3655mmmmmmm，解得1m(舍)，或52m，此时点57(,)24G；③若AC为斜边，则222AGCGAC，即222222()365()5mmmmmmm，解得0m(舍)，或1m(舍)，或m无解，此时点G不存在，综上，存在点157(,)24G和235(,)24G使得ACG为直角三角形．