2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高二

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x，axax2|1|||恒成立，则实数a的最小值为31．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为150．3．若66554433221032)2(xaxaxaxaxaxaaxx，则531aaa－4．4．已知顶角为20的等腰三角形的底边长为a，腰长为b，则233abba的值为3．5．设nnbannn(15,2N*，},,,{},,,{201521201521abbbaaaS，则集合S中的元素的个数为504．6．已知点P在Rt△ABC所在平面内，90BAC，CAP为锐角，2||AP，2ACAP，1ABAP．当||APACAB取得最小值时，CAPtan27．7．已知正三棱锥ABCP的底面的边长为6,侧棱长为21，则该三棱锥的内切球的半径为1．8．函数)11)(211()(2xxxxf的值域为]8,22[．9．已知21,FF是椭圆1422yx的两个焦点,BA,分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则21PFPF的最小值为511．10．使得21p和212p都是完全平方数的最大质数p为7．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集}0)2518()(|),{(xyxyyxA，}1)1()1(|),{(22yxyxB．若BAyx),(，求yx2的最小值．解作出平面点集A、B所表示的平面区域，AB表示如图阴影部分D.令2zxy，则2yxz，z表示直线2yxz的纵截距.易知：直线2yxz经过区域D中的点P时，2zxy取得最小值.……………（5分）因为点P在圆22(1)(1)1xy上，设它的坐标为(1cos,1sin)，结合图形可知(,)2.又点P在曲线1825yx上，所以有18(1cos)(1sin)25，即7sincossincos025.………………………………………（10分）设sincost，则21sincos(1)2t，代入得217(1)0225tt，解得15t或115t（舍），即1sincos5.………………………………………（15分）结合22sincos1，并注意到(,)2，解得4sin5，3cos5．所以，点P的坐标为29(,)55，2zxy的最小值为min292155z．………（20分）12．设nT是数列}{na的前n项之积，满足naTnn,1N*．（1）求数列}{na的通项公式；（2）设22221nnTTTS，求证：312111nnnaSa．xyOP解（1）易知2111aT，1,0nnaT，且由nnnnaTaT1,111，得nnnnnaaTTa11111，即nnnaaa11111，即111111nnaa．……………（5分）所以112111111111nnnaan，故1111nnnan．………………………………………（10分）（2）由（1）得1121naaaTnn．一方面，222)1(13121nSn212121)2)(1(14313211nannn；……………（15分）另一方面，41)1(141314121222nSn32132)23)(21(12725125231nnn．又3131212132321321nannnn．所以312111nnnaSa．………………………………………（20分）13．过直线0132yx上一动点A（A不在y轴上）作抛物线xy82的两条切线，NM,为切点，直线ANAM,分别与y轴交于点CB,．（1）证明直线MN恒过一定点；（2）证明△ABC的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．证明（1）设),(00yxA，11(,)Mxy，22(,)Nxy.抛物线xy82的过点11(,)Mxy的切线方程为AM：)(411xxyy．而AM过),(00yxA，故)(41010xxyy①①式说明直线)(400xxyy恒过点),(11yxM．………………………………………（5分）同理可证得直线)(400xxyy恒过点),(22yxN．故直线)(400xxyy过NM,两点，则直线MN的方程为：)(400xxyy．又13200yx，代入)(400xxyy中，得)13(4)8(0xyy．所以直线MN恒过定点)8,13(．………………………………………（10分）（2）直线AM：)(411xxyy与y轴交于)4,0(11yxB．抛物线xy82的焦点为)0,2(F，则111122004yxyxkBF，又14ykBA，则18211yxkkBFBA，所以BABF.同理可证CACF．所以FCBA,,,四点共圆，且AF为直径．因此，△ABC的外接圆恒过定点)0,2(F．………………………………………（15分）在AF和直线0132yx垂直时，圆的直径AF最小．此时，直线AF：)2(20xy，与0132yx联立，求得)6,1(A，则||35AF.所以，△ABC的外接圆的半径的最小值为352．……………………………………（20分）