高考卷-15年全国卷一数学

2015全国卷一数学满分:班级：_________姓名：_________考号：_________一、单选题（共12小题）1．已知集合则集合中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．22．已知点，，向量，则向量=（）A．B．C．D．（1,4）3．已知复数Z满足，则Z=（）A．B．C．D．4．如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数。从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则（）A．3B．6C．9D．126．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．已知是公差为1的等差数列，为的前项和.若，则（）A．B．C．D．8．函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（）A．B．C．D．9．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．5B．6C．7D．810．已知函数，且，则=（）A．B．C．D．11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（）A．1B．2C．4D．812．设函数的图像与图像关于直线对称，且，则（）A．-1B．1C．2D．4二、填空题（共4小题）13.已知数列中，为的前n项和。若=126，则n=_______．14.已知函数的图像在点处的切线过点（2,7），则=_______．15.若满足约束条件，则的最大值为__________．16.已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，．当△周长最小时，该三角形的面积为__________．三、解答题（共8小题）17.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，。（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）设，且，求的面积。18.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，平面ABCD。（Ⅰ）证明：平面平面BED；（Ⅱ）若，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积。19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响。对近8年的年宣传费和年销售量（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。表中（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润与的关系为。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为20.已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点。（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）若，其中O为坐标原点，求。21.设函数。（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；（Ⅱ）证明：当时，22.选修4-1：几何证明选讲如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于点E。（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是的切线；（Ⅱ）若，求的大小。23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（Ⅰ）求的极坐标方程；（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积。24.选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当=1时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D答案：D2.考点：平面向量坐标运算试题解析：，，选A答案：A3.考点：复数综合运算试题解析：，∴z=，选C.答案：C4.考点：古典概型试题解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，选C答案：C5.考点：椭圆试题解析：抛物线的焦点为，准线方程为，椭圆的右焦点为，椭圆的焦点在轴上，设方程为，，，，，椭圆的方程为，将代入椭圆的方程，解得，，，选B答案：B6.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，选B答案：B7.考点：等差数列试题解析：∵公差，，∴，解得=，∴，选B答案：B8.考点：三角函数的图像与性质试题解析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，选D.答案：D9.考点：算法和程序框图试题解析：输入初值，，，执行第1次：，，满足条件，进入循环；执行第2次：，，满足条件，进入循环；执行第3次：，，满足条件，进入循环；执行第4次：，，满足条件，进入循环；执行第5次：，，满足条件，进入循环；执行第6次：，，满足条件，进入循环；执行第7次：，，不满足条件，跳出循环；输出，结束，选C答案：C10.考点：分段函数，抽象函数与复合函数试题解析：∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，当时，，解得，∴=，故选A.答案：A11.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，选B.答案：B12.考点：函数综合试题解析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，选C.答案：C13.考点：等比数列试题解析：∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，∴答案：14.考点：导数的概念和几何意义试题解析：∵，∴，即切线斜率，又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1.答案：15.考点：线性规划试题解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.答案：16.考点：双曲线试题解析：设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，所以的周长为，由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，因为，，所以直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以点的纵坐标为，所以答案：17.考点：解斜三角形试题解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得.又，可得,,由余弦定理可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为90°，由勾股定理得.故，得.所以ABC的面积为1.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）118.考点：立体几何综合试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（Ⅱ）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2，从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.答案：（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）19.考点：变量相关试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型。（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于所以所以关于的线性回归方程为所以关于的回归方程为（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值（ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值，，所以当，即时，取得最大值。故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大。答案：（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）46.2420.考点：直线与圆的位置关系试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l的方程为.因为l与C交于两点，所以.解得.所以的取值范围是.（Ⅱ）设.将代入方程,整理得,所以,由题设可得，解得，所以l的方程为.故圆心在直线l上，所以.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）21.考点：导数的综合运用试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，由于由得：两边进行a次方得：两边取ln对数整理得：，所以（利用均值不等式）故当时，.答案：（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）证明见解析22.考点：圆试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连结OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线（Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，，由射影定理可得，，∴，解得=，∴∠ACB=60°答案：（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）23.考点：曲线参数方程试题解析：（Ⅰ）因为，∴的极坐标方程为，的极坐标方程为（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因为的半径为1，则的面积=.答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）24.考点：绝对值不等式试题解析：（Ⅰ）当时，不等式可转化为，等价于或或，解得，所以不等式的解集为（Ⅱ）由题设可得，，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为.由题设得＞6，解得.所以的取值范围为.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）